Reflexie peste barieră

Reflexia peste barieră este un termen folosit în mecanica cuantică pentru a descrie fenomenul de reflexie a unei particule în mișcare de la o barieră potențială , ceea ce este imposibil în fizica clasică , a cărei înălțime maximă este mai mică decât energia totală a particulei . Coeficientul de reflexie este determinat de forma barierei (în cazul unidimensional ) și, de asemenea, de energia și masa particulei. În acest caz , coeficientul de transmisie este mai mic decât unitatea. Un efect similar apare atunci când o particulă trece peste o treaptă potențială sau un puț cuantic . ${\displaystyle U_{max})$ $E$ $U(x)$

Abordarea luării în considerare

Indiferent de profilul potențial, mișcarea unei particule este considerată folosind ecuația staționară Schrödinger . Se presupune că particula se mișcă de la stânga la dreapta (de-a lungul axei ), potențialul la o distanță mare la stânga barierei este egal cu zero și la dreapta (posibil și egal cu zero). În acest caz, funcțiile de undă la stânga și la dreapta barierei sunt unde plane de forma: $U(x)$ $X$ $V_{0}$ $V_{0}$

\psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,\,

(extremă stânga)

\psi _{2}(x)=te^{ik_{2}x}\,\,

(extrema dreaptă).

k_{1}={\sqrt {\frac {2m_{1}E}{\hbar ^{2)}))

și sunt modulele vectorilor de undă.

k_{2}={\sqrt {\frac {2m_{2}(E-V_{0})}{\hbar ^{2))))

Masa , în general, poate diferi în funcție de regiune, motiv pentru care simbolul său este prevăzut cu un indice suplimentar; este constanta lui Planck. $m$ $\hbar$

Dacă profilul conține salturi ascuțite, atunci condiția de „cusătură” a funcției de undă și a curenților de probabilitate trebuie îndeplinită la toate limitele ; aceasta din urma impune asigurarea continuitatii cantitatii . $U(x)$ $\psi$ $\psi ^{'}/m$

În procesul de rezolvare a ecuației Schrödinger, se determină constante necunoscute și , cu ajutorul cărora se găsesc în continuare coeficienții de reflexie și transmisie: $r$ $t$

R=|r|^{2},\qquad T={\frac {k_{2}m_{1}}{m_{2}k_{1}}}|t|^{2}

Rezultatele acestei considerații pentru mai multe sisteme sunt prezentate mai jos.

Exemple

Salt de energie potențială

Problema tranziției unei particule, fără a-și schimba masa, într-o regiune cu o energie potențială diferită are următoarea soluție: $V_{0}=V$

r={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}},\qquad t={\frac {2k_{1}}{k_{1} +k_{2}}}

Coeficienții de reflexie și transmisie sunt

R=\left({\frac {1-{\sqrt {1-V/E}}}{1+{\sqrt {1-V/E}}}}\right)^{2}, \quad T={\frac {4{\sqrt {1-V/E}}}{\left(1+{\sqrt {1-V/E}}\right)^{2}}}

Coeficientul de reflexie are o valoare finită, dar pe măsură ce se apropie de infinit, tinde spre zero. $E$

Bariera de potențial dreptunghiulară

În cazul unei bariere dreptunghiulare, potențialul de pe ambele părți este zero (și ). Condițiile de potrivire acționează pe două limite: la și . Vectorii de undă de la stânga la dreapta și în barieră sunt $V_{0}=0$ $x=0$ $x=a$

k_{1}=k_{2}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2)}}),\qquad k_{b}={\sqrt {\frac {2m(EV )}{\hbar ^{2}}}}}

Rezultat pentru coeficienții de reflexie și transmisie:

R=1-T,\qquad T={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}-k_{b}^{2})^{2)} {4k_{1}^{2}k_{b}^{2}}}\sin ^{2}{k_{b}a}}}

Pentru , coeficientul de reflexie este în general diferit de zero. Dar la anumite energii devine din cauza reducerii la zero a sinusului. $E>V$ $E$ $R=0$

Modificarea masei efective

În acest caz, coeficienții și sunt calculați prin formulele: $r$ $t$

r={\frac {{\sqrt {m_{1})} - {\sqrt {m_{2))))({\sqrt {m_ {1)}}+{\sqrt {m_{2 }}}},\qquad t={\frac {2{\sqrt {m_{1}}}}{{\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt {m_{2}}}}}

În consecință, coeficienții de reflexie și transmisie vor fi

R=\left({\frac {{\sqrt {m_{1}}}-{\sqrt {m_{2}}}}({\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt { m_{2))))}\right)^{2},\qquad T={\frac {4{\sqrt {m_{1}m_{2)))){\left({\sqrt {m_{ 1}}}+{\sqrt {m_{2}}}\dreapta)^{2}}}

Dacă masele efective sunt egale, nu există reflexie.

Puț cuantic infinit

Un puț cuantic în formă de deltă este un potențial de forma , unde . $U(x)=\lambda /m\cdot \delta (x)$ $\lambda ={\mbox{const}}<0$

Notă: în prezența caracteristicilor -funcționale ale potențialului, condițiile de potrivire a derivatelor, care decurg din cerința continuității curentului, se modifică oarecum, vezi mai precis . $\delta$

Coeficienții de reflexie și transmisie pentru o astfel de sondă sunt

R=|r|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {2m\hbar ^{2}E}{\lambda ^{2}))}},\qquad T =|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}E}}}}

Se pare că reflexia unei particule este posibilă atunci când se deplasează deasupra puțului cu orice energie , deși cu o creștere a energiei, probabilitatea de reflexie scade. $E$

Relevanță practică

Toate tipurile de structuri prezentate mai sus sunt întâlnite sau pot fi create în practică. În tehnologia heterostructurilor semiconductoare , este posibil să se obțină sisteme multistrat cu diferite materiale. Deoarece posibilitățile de variare a combinațiilor de materiale sunt destul de largi, este destul de realist să se obțină înălțimile barierei dorite (de la fracțiuni de eV la câțiva eV) și valorile masei efective . În consecință, profilul benzii de conducere va juca rolul profilului potențial . $U(x)$ $E_{c}(x)$

Literatură

Landau L.D., Lifshits E.M. Mecanica cuantică (teorie nonrelativistă). — Ediția a IV-a. — M .: Nauka , 1989 . — 768 p. - („Fizica teoretică”, Volumul III). - ISBN 5-02-014421-5 .
Flygge Z. Probleme de mecanică cuantică. - Editura LKI, 2008. - T. 1.