Potențială piatră de treaptă

Un pas potențial este un profil al energiei potențiale a unei particule caracterizat printr-o tranziție bruscă de la o valoare (luată ca zero, pentru comoditate) la alta ( ). Astfel de profiluri sunt analizate în mecanica cuantică , iar coeficientul de transmisie al unei particule cu energie totală se dovedește a fi diferit de unitate . $U$ $V_{0}$ $E>V_{0)$

Cel mai simplu profil potențial de acest tip este un salt:

U(x)=0

la și la .

x<0\quad

\quad U(x)=V_{0}

x>0

Pentru a lua în considerare o oarecare neclaritate a tranziției, se folosește expresia

U(x)={\frac {1}{2}}V_{0}\left(1+\mathrm {th} {\frac {x}{2a}}\right),\,a= {\mbox{const}}>0

simulând creşterea monotonă de la 0 cu la cu . $-\infty$ $V_{0}$ $+\infty$

Un potențial pas poate fi format, de exemplu, prin dependența de coordonate a energiei fundului benzii de conducție a unei heterostructuri semiconductoare atunci când, datorită diferenței de afinitate electronică a două materiale, are loc un salt destul de brusc la joncțiunea lor. . $U(x)=E_{c}(x)$ $E_{c}$

Jump step model

Ecuația staționară Schrödinger pentru o treaptă de potențial de salt are forma:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+V_{0}\Psi (x)=E\Psi (x)

pentru ,

x>0

si la fel fara termenul cu pentru . Aici , este masa particulei, este constanta Planck redusă și este funcția de undă a particulei. Se presupune că particula se deplasează spre pozitiv . În plus, toate caracterele cu numărul 1 se referă la zona , iar cu numărul 2 - la . $V_{0}$ $x<0$ $m$ $\hbar$ $\psi$ $X$ $x<0$ $x>0$

Presupunând că , scriem funcția de undă pentru regiunile 1 ( ) și 2 ( ) ca $E>V_{0)$ $\Psi =\psi _{1}$ $\Psi =\psi _{2}$

\psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,(x<0)

\psi _{2}(x)=te^{ik_{2}x}\,(x>0)

Unde

k_{1}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2)}}),\qquad k_{2}={\sqrt {\frac {2m(E-V_{0} )}{\hbar ^{2}}}}}

Din cerința de continuitate a funcției de undă și a derivatei sale într-un punct se obține $x=0$

1+r=t

i\hbar k_{1}-ir\hbar k_{1}=it\hbar k_{2)

ce dă

r={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}},\qquad t={\frac {2k_{1}}{k_{1} +k_{2}}}

Ca rezultat, avem coeficienții de reflexie (reflexie peste barieră ) și de transmisie:

R=|r|^{2}=\left({\frac {1-{\sqrt {1-V_{0}/E)}}{1+{\sqrt {1-V_{0} /E))))\right)^{2},\qquad T={\frac {k_{2}}{k_{1}}}|t|^{2}={\frac {4{\sqrt {1-V_{0}/E}}}{\left(1+{\sqrt {1-V_{0}/E}}\right)^{2}}}

Acest rezultat este fundamental diferit de cel clasic : în mecanica clasică nu există nicio reflectare în acest caz, dar indiferent de . $T=1$ $E$

Model în pas încețoșat

Ecuația staționară Schrödinger pentru un pas de potențial neclar (gradul de estompare este stabilit de parametrul : cu cât este mai mic, cu atât potențialul este mai aproape de un potențial săritor) se scrie: $A$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {1}{2}}V_{0}\left(1+\mathrm {th } {\frac {x}{2a}}\dreapta)\Psi (x)=E\Psi (x)

Dacă notăm și , atunci va lua forma $k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}$ $\lambda ={\sqrt {2mV_{0}a^{2}/\hbar ^{2)))$

\Psi ''(x)+\left(k^{2}-{\frac {\lambda ^{2}}{2a^{2}}}\left(1+\mathrm {th} { \frac {x}{2a}}\dreapta)\dreapta)\Psi (x)=E\Psi (x).

Dacă facem o schimbare de variabilă

y={\frac {1}{1+e^{\frac {x}{a})}),

apoi, ținând cont de notația , se va reduce la forma: $\varkappa =ka$

y(1-y)\Psi ''(y)+(1-2y)\Psi '(y)+\left({\frac {\varkappa ^{2}}{y(1-y) }}-{\frac {\lambda ^{2}}{y}}\right)\Psi (y)=0.

Deoarece punctele și sunt puncte singulare ale acestei ecuații, este firesc să căutați o soluție sub forma: $y=0$ $y=1$

\Psi (y)=y^{\nu }(1-y)^{\mu }f(y).

Dacă alegem și , atunci ecuația se va reduce la ecuația hipergeometrică gaussiană: $\nu ={\sqrt {\lambda ^{2}-\varkappa ^{2)}}$ $\mu =i\varkappa$

y(1-y)f''(y)+\left((2\nu +1)-(2\mu +2\nu +2)\right)f'(y)-(\mu +\nu )(\mu +\nu +1)f(y)=0.

Alegând soluții cu asimptoticele corecte, obținem

f(y)=C\;_{2}F_{1}(\mu +\nu ,\mu +\nu +1;2\nu +1;y)

Apoi puteți obține coeficienții de reflexie și transmisie. In cazul in care : $E<V_{0)$

R=1,\qquad T=0.

Astfel, se observă reflexia totală. În cazul luării în considerare a denumirii : $E>V_{0)$ $\sigma =i\nu$

R=\left({\frac {\mathrm {sh} \pi (\varkappa -\sigma)}{\mathrm {sh} \pi (\varkappa +\sigma )))\right)^{2 }

In limita $a\rightarrow 0$

R=\left({\frac {\varkappa -\sigma }{\varkappa +\sigma }}\right)^{2}

care este același cu rezultatul secțiunii precedente dacă revenim la variabilele inițiale.

Literatură

Z. Flügge. Probleme de mecanică cuantică. - Editura LKI, 2008. - T. 1.

Modele de mecanică cuantică
Unidimensional fără spin	particule libere Groapă cu pereți nesfârșiti Puț cuantic dreptunghiular potenţial delta Puțul cuantic triunghiular Oscilator armonic Potențială piatră de treaptă Pöschl-Teller potenţial bine Potenţialul Pöschl-Teller modificat bine Particulă într-un potențial periodic Dirac potențial pieptene Particulă în inel
Multidimensional fără spin	oscilator circular Ionul moleculei de hidrogen Top simetric Potențiale simetrice sferic Potențial păduri-saxon problema lui Kepler Potenţialul Yukawa Potențial Morse Hulthen potențial Potenţialul molecular al lui Kratzer Potenţial exponenţial
Inclusiv spin	atom de hidrogen Ion hidrură atom de heliu