Inegalitatea lui Schweitzer

Inegalitatea lui Schweitzer spune următoarele

Pentru orice numere reale aparținând intervalului , unde , este valabilă următoarea inegalitate: $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $[m;M]\;$ $M\geqslant m>0$

\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 ))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}\cdot n^{2} .

În plus, dacă este ciudat, atunci $\;n$

\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 ))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}\cdot n^{2} -{\frac {(mM)^{2}}{4mM}}.

Istorie

Această inegalitate a fost publicată în 1914 într-un articol [1] al matematicianului maghiar Miklós Schweitzer . Există o traducere în limba engleză a acestui articol în anexa la [2] . Întrucât puțini oameni erau familiarizați cu articolul lui Schweitzer înainte de apariția traducerii în limba engleză, inegalitatea (a doua parte) este de obicei asociată [3] cu numele lui Alexandru Ioan Lupaš , care a dovedit [4] această inegalitate cu aproape 60 de ani mai târziu decât Schweitzer.

Inegalități echivalente

( V. Sierpinski [5] ) Pentru orice numere pozitive , $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$

\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 ))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant \left({\frac {A}{G}}\right)^{n}n^{2} ,

unde A și G reprezintă media aritmetică și , respectiv, media geometrică . $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$

Consecințele

( O. Shisha [6] ) Pentru orice numere reale aparținând segmentului , unde , inegalitatea este adevărată: $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $[m;M]$ $0<m\leqslant M$

{\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}-{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}} +{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq (Mm)^{2}.

(Z.-C. Hao). Numerele reale aparțin intervalului , unde . În condiția și următoarea inegalitate este valabilă: $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $[m;M]$ $0<m\leqslant M$ $0<q\leqslant p<1$ $p+q=1$

\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)^{p}\left({\frac {1}{x_{1)}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)^{q}\leqslant {\frac {n(pM+qm)}{m^ {q}M^{q}}}.

Generalizări

Kantorovich

Note

↑ Schweitzer P. Egy egyenlőtlenség az arithmetikai középértékről (neopr.) // Math. es. Fiz. Lapok.. - 1914. - T. 23 . - S. 257-261 . (Hung.) ("Inegalitatea care conține media aritmetică")
↑ Watson GS, Alpargu G., Styan GPH Câteva comentarii la șase inegalități asociate cu ineficiența celor mai mici pătrate obișnuite cu un regresor // Linear Algebra and its Appl. : jurnal. - 1997. - Vol. 264 . - P. 13-54 . - doi : 10.1016/S0024-3795(97)00228-0 .
↑ Mitrinović DS, Pečarić JE, Fink AM Clasic și noi inegalități în analiză. Matematica și aplicațiile ei . - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group , 1993. - Vol. 61. - (Seria Est-Europeană).
↑ Lupaş A. A remark on the Schweitzer and Kantorovich inequalities (neopr.) // Publ. Elek. Fak. Univ. Beograd Ser. Mat. i Fiz .. - 1972. - T. 381-409 . - S. 13-15 .
↑ Sierpiński W. Über eine auf das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel sich beziehende Ungleichung (germană) // Warsch. Sitzungsber. : magazin. - 1909. - Bd. 2 . - S. 354-367 . (Limba germana)
↑ Shisha O. Inegalități I . - New York-Londra, 1967. - S. 293-308.

Sursa

A. Hrabrov. Inegalitatea lui Schweitzer // În Sat. Sarcini ale olimpiadei din Sankt Petersburg pentru școlari la matematică, 2005. Dialectul Nevski, 2005. - S. 89--96 .. Arhivat la 20 mai 2006.