Medie geometrică

Media geometrică a mai multor numere reale pozitive este un număr care poate înlocui fiecare dintre aceste numere, astfel încât produsul lor să nu se modifice. Mai formal:

G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\sqrt[ {n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n))}=\left( \prod _{{i=1}}^{n}x_{i}\right)^{{1/n}}

Media geometrică a două numere se mai numește și media lor proporțională [1] , deoarece media geometrică a două numere are următoarea proprietate: , adică media geometrică este legată de primul număr la fel ca și al doilea număr. este la media geometrică. $g$ $a_{1}$ $a_{2}$ ${\frac {a_{1}}{g}}={\frac {g}{a_{2}}}$

Proprietăți

La fel ca orice altă medie , media geometrică se află între minimul și maximul tuturor numerelor:

\operatorname {min} (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\leqslant G(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\ leqslant \operatorname {max} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

Media geometrică a două numere este media aritmetică-armonică a acestor numere, adică este egală cu limita a două șiruri: $a=A_{0},b=G_{0}$

A_{i}={\frac {A_{i-1}+G_{i-1}}{2)),\quad G_{i}={\sqrt {A_{i-1}G_{ i-1}}}.

Media geometrică a două numere este egală cu media geometrică a mediei lor aritmetice și a mediei armonice [2] .

Media ponderată geometrică

Media ponderată geometrică a unui set de numere reale cu greutăți reale este definită ca $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $w_{1},\ldots ,w_{n}$

{\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i= 1}^{n}w_{i}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\;\sum _{ i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}\right).

În cazul în care toate ponderile sunt egale, media geometrică ponderată este egală cu media geometrică.

În geometrie

Înălțimea unui triunghi dreptunghic coborât la ipotenuză este media proporțională dintre proiecțiile catetelor pe ipotenuză, iar fiecare catete este media proporțională dintre ipotenuză și proiecția acesteia pe ipotenuză.

Aceasta oferă o modalitate geometrică de construire a mediei geometrice a două (lungimi) segmente: trebuie să construiți un cerc pe suma acestor două segmente ca pe un diametru și apoi să restabiliți înălțimea de la punctul de conectare la intersecția cu cercul va da valoarea cerută.

Distanța până la orizontul unei sfere este media geometrică dintre distanța până la punctul cel mai apropiat al sferei și distanța până la punctul cel mai îndepărtat al sferei.

Generalizări

Media geometrică poate fi considerată ca limită a exponenților medii pentru . $A_{g}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[ {g}]{\frac {x_{1}^{g}+\ldots +x_{n}^{g }}{n}}}$ $g\la 0$
Media geometrică este media Kolmogorov la . $\phi (x)=\ln x$

Note

↑ „Mean Proporțional”. - articol din Marea Enciclopedie Sovietică .
↑ Rowe S. Exerciții geometrice cu o bucată de hârtie . - Ed. a II-a. - Odesa: Matesis, 1923. Copie arhivată din 13 august 2020 la Wayback Machine

Vezi și

Rău
Matematica	Puterea medie ( ponderată ) medie armonică ponderat medie geometrică ponderat In medie ponderat rădăcină medie pătrată Cubic mediu medie mobilă Media aritmetică-geometrică Funcție medie Kolmogorov înseamnă
Geometrie	centru geometric Barycenter
Teoria probabilității și statistica matematică	Winsorized înseamnă eșantion mediu Valorea estimata Median Modă deviație standard Medie trunchiată Așteptarea condiționată
Tehnologia de informație	Medoid metoda k-mediană
Teoreme	Prima teoremă medie A doua teoremă medie Inegalitatea cu privire la media aritmetică, geometrică și armonică
Alte	Valorile centrului de distribuție