Teorema lui Young

Teorema lui Young este o inegalitate pentru diametrul și raza unui set de puncte din orice spațiu euclidian . Numit după Heinrich Jung.

Formulare

Fie un set compact de diametru ; acesta este, $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ $d$

d=\max _{p,q\,\in \,K}\{\|pq\|\)

Apoi există o minge închisă cu rază

r\leq d{\sqrt {\frac {n}{2(n+1))}},

care contine . Egalitatea este atinsă pentru un n - simplex obișnuit . $K$

Caz 2D

Cel mai frecvent caz este avionul , adică . În acest caz, inegalitatea afirmă că există un cerc care cuprinde toate punctele a căror rază satisface $n=2$

r\leq {\frac {d}{\sqrt {3}}}.

Această inegalitate se realizează pentru un triunghi echilateral

r={\frac {d}{\sqrt {3}}}.

Variații și generalizări

Spații metrice generale

Pentru orice mulțime mărginită în orice spațiu metric , $K$

{\tfrac {d}{2}}\leq r\leq d

Prima inegalitate rezultă din inegalitatea triunghiului pentru centrul mingii și două puncte diametrale. A doua rezultă din faptul că o minge cu raza d centrată în orice punct va conține toate . $K$ $K$

Într-un spațiu metric discret, adică un spațiu în care distanțele dintre orice pereche de puncte distincte sunt egale, se ajunge la a doua inegalitate. Prima inegalitate se realizează în spații injective precum distanța blocurilor din avion.

Vezi și

Inegalitatea lui Young

Literatură

Rademacher G. , Toeplitz O. Numere și cifre. Experimente în gândirea matematică . - (Numărul 10 din seria „ Biblioteca Cercului Matematic ”).