Nilpotent Ideal

Un ideal nilpotent este un ideal al unui inel pentru care există un număr natural astfel încât [1] ( este un subgrup aditiv generat de mulțimea tuturor produselor din elementele idealului , adică un ideal este nilpotent dacă și numai dacă există un număr natural astfel încât produsul oricăror elemente ale idealului să fie egal cu 0. Conceptul de ideal nilpotent este de cel mai mare interes pentru cazul inelelor necomutative . $eu$ $R$ $k$ $I^{k}=0$ $I^{k)$ $k$ $eu$ $k$ $k$ $eu$

Într-un inel de reziduuri modulo , unde este un număr prim, toate idealurile, altele decât inelul însuși, sunt nilpotente. În inelul matricelor triunghiulare superioare peste un câmp , matricele cu zerouri pe diagonala principală formează un ideal nilpotent. $\mathbb{Z } _{{p^{n}}}$ $p^{n}$ $p$

Orice element al unui ideal nilpotent este nilpotent . Într -un inel comutativ, orice element nilpotent este conținut într-un ideal nilpotent, de exemplu, în idealul principal generat de acest element. Un inel necomutativ poate conține elemente nilpotente care nu sunt conținute în niciun ideal nilpotent (sau chiar într-un ideal zero).

Într-o algebră Lie cu dimensiuni finite, există un ideal nilpotent maxim constând din elemente pentru care endomorfismul este nilpotent. $g$ $x\in g$ $y\la [x,y]$ $y\in g$

Conexiune cu nil-ideals

Fiecare ideal nilpotent este un nil-ideal , invers nu este adevărat în cazul general, dar în unele clase aceste concepte coincid. Idealul nul nu este neapărat nilpotent din mai multe motive: în primul rând, este posibil să nu existe o limită superioară globală a exponentului pentru a stabili diferite elemente ale idealului nul la zero și, în al doilea rând, fiecare element, fiind nilpotent, nu dă neapărat un produs zero la înmulțirea diferitelor elemente [ 1] .

În inelul artinian din dreapta orice ideal nul este nilpotent [2] . Acest lucru este confirmat de următoarea observație: orice ideal nul este conținut în radicalul Jacobson al inelului, iar faptul că radicalul Jacobson este un ideal nilpotent (datorită conjecturii lui Artin) implică afirmația necesară. De fapt, această afirmație poate fi generalizată la inelele noetheriene drepte , acest rezultat fiind cunoscut sub numele de teorema lui Levitsky [3] .

Note

↑ 1 2 Isaacs, 1993 , p. 194.
↑ Isaacs, 1993 , p. 195 Corolarul 14.3.
↑ Herstein, 1968 , p. 37 Teorema 1.4.5.

Literatură

ÎN Herstein. Inele necomutative. - The Mathematical Association of America, 1968. - ISBN 0-88385-015-X .
- Herstein I. Inele necomutative / Traducere de E.N. Kuzmin. - M. : „Mir”, 1972.
I. Martin Isaacs. Algebră, un curs absolvent. — Brooks/Cole Publishing Company, 1993. — ISBN 0-534-19002-2 .
Leng S. Algebră. - M. , 1968.
Jacobson N. Structura inelelor. - M. , 1961.
Fața K. Algebră: inele, module și categorii. - M. , 1977. - T. 1.
Bourbaki N., Grupuri de Lie și algebre. Algebre Lie, algebre Lie gratuite și grupuri Lie, trad. din franceză, M., 1978.