Notație Voigt

Notația Voigt este o formă matriceală de scriere a unui tensor simetric de rangul 4. A fost propus pentru prima dată de fizicianul german Woldemar Voigt pentru tensorul elasticității în formularea legii lui Hooke pentru materialele anizotrope .

Notație

Dacă un tensor cu 4 ranguri are simetrie în prima și a doua pereche de indici: $c_{{ijkl}}$

c_{ijkl}=c_{jikl}

c_{ijkl}=c_{ijlk}

atunci elementele sale pot fi scrise ca o matrice 6x6 folosind următoarea substituție de index:

11\rightarrow 1

22\rightarrow 2

33\rightarrow 3

23,32\rightarrow 4

13.31\rightarrow 5

12,21\rightarrow 6

De exemplu, o componentă va corespunde unui element de matrice . $c_{3122}$ $C_{52}$

Folosind aceleași substituții de index, se pot scrie tensori simetrici de rang 2 ca 6 vectori. Cu această reprezentare, rezultatul înmulțirii tensoarelor, în general, nu corespunde rezultatului înmulțirii matricelor. Pentru ca operația de înmulțire a tensoriilor să fie scrisă ca o înmulțire matriceală , poate fi necesar să fie introduși factori suplimentari.

Notarea matricială a legii lui Hooke

Legea lui Hooke sub formă de tensor are forma (în continuare se folosește convenția Einstein privind însumarea peste indici repeți):

\sigma _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl}

unde si sunt tensorii tensiunii si deformarii . Deoarece acești tensori sunt simetrici, tensorul modulului elastic are gradul de simetrie necesar pentru a fi scris sub formă de matrice. Mai mult, din relatia: $\sigma_{ij}$ $\varepsilon _{kl)$ $c_{{ijkl}}$

c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}))

unde este energia liberă $F$ [ clarifica ] în cazul deformării izoterme, sau energie internă în deformarea adiabatică , urmează . Rezultă că există doar 21 de componente liniar independente ale tensorului constant elastic [1] . Prin urmare, matricea compusă din componente va fi simetrică. Legea lui Hooke poate fi scrisă sub următoarea formă: $c_{ijkl}=c_{klij)$ $C_{\alpha \beta }$ $c_{{ijkl}}$

\sigma _{\alpha }=C_{\alpha \beta}\epsilon _{\beta )

unde indicii variază de la 1 la 6 sau: $\alpha ,\beta$

{\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\ sigma _{12}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1113}&c_{1112}\\\cdot &c_{2222} &c_{2233}&c_{2223}&c_{2213}&c_{2212}\\\cdot &\cdot &c_{3333}&c_{3323}&c_{3313}&c_{3312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\c {2323}&c_{2313}&c_{2312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &c_{1313}&c_{1312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &c_{ 1212}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2 \varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{pmatrix}}

În această notație, coeficientul 2 pentru componentele tensorului deformare , , este necesar pentru ca ecuațiile matriceale să se potrivească exact cu ecuațiile tensorale. De exemplu, în legea lui Hooke, ecuația pentru componentă include termenul , care în notația matriceală corespunde termenului . $\varepsilon _{23}$ $\varepsilon _{13}$ $\varepsilon _{12}$ $\sigma_{11}$ $c_{1123}\varepsilon _{23}+c_{1132}\varepsilon _{32)$ $c_{1123}2\varepsilon _{23}$

Legea lui Hooke poate fi scrisă într-o formă de tensor echivalent, în termeni de tensor al modulului de conformitate : $s_{ijkl)$

\varepsilon _{ij}=s_{ijkl}\sigma _{kl)

Tensorul este caracterizat de același grad de simetrie ca . Prin urmare, componentele sale pot fi scrise și ca o matrice de 6x6 elemente. Totuși, această matrice nu va fi inversă matricei . $s_{ijkl)$ $c_{{ijkl}}$ $C_{\alpha \beta }$

Ecuația matriceală inversă , unde , este după cum urmează: $\epsilon _{\alpha }=S_{\alpha \beta}\sigma _{\beta )$ $S=C^{-1}$

{\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\ \2\varepsilon _{12}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1113}&2s_{1112}\\\cdot &s {2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2213}&2s_{2212}\\\cdot &\cdot &s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3313}&2s_{3312}&\\cdot &\\cdot \cdot &4s_{2323}&4s_{2313}&4s_{2312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &4s_{1313}&4s_{1312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\ cdot &4s_{1212}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\ \\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{pmatrix}}

Transformarea rotației

În timpul trecerii de la sistemul de coordonate carteziene la sistemul de coordonate carteziene prin rotație, componentele tensorului constantelor elastice sunt transformate după următoarea formulă în conformitate cu transformarea tensorului de rang al patrulea [2] : ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3))$ $x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },x_{3}^{\prime )$

{\displaystyle C'_{ijkl}=n_{i\alpha }n_{j\beta}n_{k\gamma}n_{l\delta}C_{\alpha \beta \gamma \delta ))

Exemple

Tensorul de elasticitate al unui material izotrop: proprietățile elastice sunt determinate de 2 constante (în acest exemplu, constantele Lame și ): $\lambda$ $\mu$

{\begin{pmatrix}\lambda +2\mu &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda +2\mu &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &\lambda +2\ mu &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \\\end{pmatrix}}

Tensorul de elasticitate al unui material cu simetrie hexagonală: un corp cu simetrie hexagonală se caracterizează prin prezența unei axe de simetrie (în acest caz ), atunci când este rotit în jurul căreia proprietățile nu se modifică; este descrisă de 5 constante elastice independente: $x_{3}$

{\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&0&0&0\\c_{1122}&c_{1111}&c_{1133}&0&0&0\\c_{1133}&c_{3}3&c_{1_3 }&0&0&0\\0&0&0&c_{2323}&0&0\\0&0&0&0&c_{2323}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{2}}(c_{1111}-c_{1122})\\\}}{pmatrix

Matricea unității corespunde tensorului de „simetrizare” a unității : $eu$

I_{ijkl}={\frac {1}{2}}(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk})

Note

↑ Filtre pe unde acustice de suprafață (calcul, tehnologie și aplicație) = Filtre de unde de suprafață: proiectare, construcție și utilizare / Ed. V. B. Akpambetova. - M . : Radio şi comunicare, 1981. - S. 11. - 472 p. - 5000 de exemplare.
↑ Witold Novacky. Teoria Sprezystosci . Panstowe Wydawnitctwo Naukowe (1970). Preluat la 17 decembrie 2019. Arhivat din original la 17 decembrie 2019. (nedefinit)

Literatură

M. A. Akivis, V. V. Goldberg. Calcul tensor . - M. : Nauka, 1969. - 352 p.
V. Novatsky. Teoria elasticității / transl. B. E. Pobedrya . — M .: Mir, 1975. — 871 p.
T. D. Shermergaard. Teoria elasticității mediilor microneomogene. - M. : Nauka, 1977. - 399 p.