Un număr de subgrupe

În matematică , o serie de subgrupe este un lanț de subgrupe de forma . Serii de subgrupe pot simplifica studiul unui grup reducându-l la studiul subgrupurilor acestui grup și studiul relațiilor dintre ele. Serii de subgrupuri pot forma invarianți importanți ai unui grup dat . $\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{n}=G$ $\displaystyle G$ $\displaystyle G$

Definiție

Serii normale, serii subnormale

O serie subnormală (numită și turn subnormal , serie subinvariantă , matrioșcă subnormală sau pur și simplu serie ) a unui grup este o succesiune de subgrupuri $\displaystyle G$

\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{n}=G,

fiecare dintre ele este un subgrup normal al subgrupului mai mare imediat următor, adică . Dacă, în plus, fiecare dintre subgrupuri este normală în grup , atunci seria se spune că este normală . $\displaystyle G_{i}\triangleleft G_{{i+1}}$ $G_{{i}}$ $\displaystyle G$

Grupurile de factori sunt numite grupuri de factori serie . $G_{i+1}/G_{i}$

Lungimea rândului

O serie cu o proprietate suplimentară pentru toate se numește serie fără repetări . Lungimea seriei este numărul de incluziuni adecvate . Dacă seria nu are repetări, atunci lungimea sa este . $\displaystyle G_{i}\neq G_{{i+1}}$ $\displaystyle i$ $\displaystyle G_{i}\varsubsetneq G_{{i+1}}$ $\displaystyle n$

Pentru o serie subnormală, lungimea sa este numărul de grupuri de factori netriviali ale seriei. Fiecare grup non-trivial are o serie subnormală de lungime 1, și anume seria . Fiecare subgrup normal propriu definește o serie subnormală de lungime 2. Pentru grupuri simple, o serie trivială de lungime 1 este singura serie subnormală posibilă. $\{1\}=G_{0}\varsubsetneq G_{1}=G$

Ranguri crescătoare și descrescătoare

Rangurile subgrupurilor pot fi scrise în ordine crescătoare

\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{n}=G,

sau în ordine descrescătoare

G=G_{0}\supseteq G_{1}\cdots \supseteq G_{n}=\{1\}.

Pentru seria finală, nu există nicio diferență în ce formă este scrisă - ca serie ascendentă sau descendentă. Cu toate acestea, pentru o serie infinită, există deja o diferență: seria ascendentă are cel mai mic element, elementul imediat care îl urmează, apoi următorul și așa mai departe, dar poate să nu aibă un element maxim altul decât . În schimb, o serie descendentă are un element cel mai mare, dar este posibil să nu aibă un element cel mai mic, altul decât . $\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G,$ $\displaystyle G$ $G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq \cdots \supseteq \{1\}$ $\displaystyle \{1\}$

Grupuri noetheriene și artiniane

Un grup care satisface condiția lanțului ascendent se numește Noetherian . Această condiție înseamnă că pentru un astfel de grup nu există un lanț infinit de subgrupuri care să crească în raport cu relația de includere. În consecință, un grup care satisface condiția de terminare a lanțului descendent se numește Artinian ; această terminologie este analogă cu separarea inelelor artiniane și noetheriene .

Un grup poate fi sau nu noetherian, un exemplu este grupul aditiv de numere întregi . Spre deosebire de inele, un grup poate fi sau nu artinian, un exemplu fiind grupul Prufer .

Grupurile de factori și subgrupurile de grupuri noetheriene sunt noetheriene. Mai mult, o extensie a unui grup Noetherian de către un grup Noetherian este un grup Noetherian (adică, dacă un grup dat are un subgrup normal Noetherian al cărui grup de coeficient este Noetherian, atunci grupul în sine este Noetherian). Afirmații similare sunt adevărate pentru grupurile artiniane.

Condiția ca un grup să fie noetherian este, de asemenea, echivalentă cu condiția ca orice subgrup al unui grup dat să fie generat finit .

Serii infinite și transfinite

Serii infinite de subgrupuri sunt definite într-un mod natural: în acest caz, trebuie să stabilim un set infinit de indici ordonați liniar . O serie crescătoare , pentru care setul index este mulțimea numerelor naturale, este adesea numită pur și simplu o serie ascendentă infinită . Dacă subgrupurile seriei sunt numerotate prin numere ordinale , atunci se obține o serie transfinită , [1] de exemplu seria $\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G$

\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{\omega }\subseteq G_{{\omega +1}}=G.

Dacă este dată o formulă recursivă pentru elementele unei serii, atunci o serie transfinită poate fi determinată folosind recursiunea transfinită . Mai mult, pe numerele ordinale limitative, elementele seriei transfinite crescătoare sunt date prin formula

G_{\lambda }=\bigcup _{{\alpha <\lambda }}G_{\alpha },

iar elementele seriei transfinite descendente prin formula

G_{\lambda }=\bigcap _{{\alpha <\lambda }}G_{\alpha }.

Alte seturi ordonate liniar apar rareori ca seturi de indexare în serii de subgrup. De exemplu, se poate considera o serie infinită cu două fețe de subgrupuri, indexate prin numere întregi:

\{1\}\subseteq \cdots \subseteq G_{{-1}}\subseteq G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G.

Comparații de rânduri

Compactarea unei serii de subgrupe este o altă serie de subgrupe care conțin fiecare element al seriei originale. Noțiunea de compactare definește o ordine parțială pe mulțimea de rânduri de subgrupuri ale unui grup dat, rândurile de subgrupuri formează o rețea în raport cu o astfel de ordonare, iar seriile subnormale și normale formează subrețele ale acestei rețele. De un interes deosebit sunt, într-un anumit sens, seriile maxime fără repetări.

Se spune că două serii subnormale sunt echivalente sau izomorfe dacă există o mapare bijectivă care conectează seturile grupurilor lor de factori astfel încât grupurile de factori corespunzătoare să fie izomorfe.

Clasamente maxime

O serie de compoziție este o serie subnormală maximă.

În clasa serii subnormale finite, maximalitatea înseamnă că fiecare grup de factori este simplu , adică o serie de compoziție finită este o serie subnormală finită cu grupuri de factori simpli .

\displaystyle G_{{i+1}}/G_{i}

\displaystyle G_{{i+1}}/G_{i}

În clasa seriei subnormale transfinite crescătoare, maximalitatea este legată de noțiunea de supersimplitate transfinită [1] (hipertranssimplicitate).

Grupul se numește transfinit supersimplu $\displaystyle G$ daca nu are serie subnormala ascendenta fara repetari (finite sau transfinite) altele decat seria triviala . $\{1\}=G_{0}\varsubsetneq G_{1}=G$

O serie subnormală transfinită ascendentă este o serie de compoziție dacă toate grupurile sale de factori sunt supersimple transfinite. $\displaystyle G_{{i+1}}/G_{i}$

Probleme deschise

Fiecare grup transfinit supersimplu este simplu. Adică, clasa grupurilor transfinit supersimple constituie o subclasă în clasa grupurilor simple. Întrebarea coincidenței sau necoincidenței acestor clase rămâne deschisă. Este necesar să se construiască un exemplu de grup simplu care nu este supersimplu transfinit sau să se demonstreze că astfel de grupuri nu există.

Referințe

↑ 1 2 Sharipov, RA (2009), Seria normală transfinită și de compoziție a grupurilor, arΧiv : 0908.2257 [math.GR].