Grup de factori

Un grup de coeficient este un set de clase ale unui grup în raport cu subgrupul său normal , care este el însuși un grup cu o operație de grup definită într-un mod special.

Grupul de factori al unui grup printr-un subgrup normal este de obicei notat cu . $G$ $H$ $G/H$

Imaginea unui grup sub un homomorfism este izomorfă cu grupul său de factori în raport cu nucleul acestui homomorfism.

Definiție

Fie un grup , subgrupul său normal și un element arbitrar. Apoi, pe categoriile în $G$ $H$ $a\în G$ $H$ $G$

aH=\{\,ah\mid\,h\in H\}

poti introduce inmultirea :

(aH)(bH)=abH

Este ușor de verificat că această înmulțire nu depinde de alegerea elementelor din clasele, adică dacă și , atunci . Această înmulțire determină structura grupului pe mulțimea claselor, iar grupul rezultat se numește grup de factori în raport cu . $aH=a'H$ $bH=b'H$ $abH=a'b'H$ $G/H$ $G$ $H$

Proprietăți

Teorema homomorfismului: Pentru orice homomorfism $\varphi :G\la K$

G/{\mathrm {Ker}}\,\varphi \cong \varphi (G)

, adică grupul de coeficient în raport cu nucleul este izomorf cu imaginea sa în .

G

{\mathrm {ker}}\,\varphi

\varphi (G)

K

Maparea definește un homomorfism natural . $a\mapsto aH$ $G\la G/H$
Ordinea este egală cu indicele subgrupului . În cazul unui grup finit , acesta este egal cu . $G/H$ $[G:H]$ $G$ $|G|/|H|$
Dacă este abelian , nilpotent , solubil , ciclic sau generat finit , atunci u va avea aceeași proprietate. $G$ $G/H$
$G/G$ este izomorf cu grupul trivial ( ), izomorf cu . $\{e\}$ $GE}$ $G$

Exemple

Fie , , atunci să fie izomorf cu . $G={\mathbb {Z}}$ $H=n\mathbb {Z}$ $G/H$ $\mathbb {Z} _{n}$
Fie (grup de matrici triunghiulare superioare nedegenerate ), (grup de matrici triunghiulare unitare superioare ), atunci este izomorfă cu grupul de matrici diagonale . $G={\mathbf {UT}}_{n}$ $H={\mathbf {SUT}}_{n}$ $G/H$
Fie ( grupa simetrică ), ( grupa Klein cuaternară , constând din permutările e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)) atunci să fie izomorfă cu . $G=S_{4)$ $H=V_{4)$ $G/H$ $S_{3}$
Fie (grup simetric), ( grup alternant ), apoi să fie izomorf cu . $G=S_{n)$ $H=A_{n}$ $G/H$ ${\mathbb {Z}}_{2}$
Fie ( grup cuaternion ), (grup ciclic format din 1, −1) apoi să fie izomorf cu . $G=Q_{8}$ $H=\mathbb {Z} _{2)$ $G/H$ $V_{4}$

Variații și generalizări

Note

Literatură

Vinberg E. B. Curs de algebră. - M . : Factorial Press, 2002. - ISBN 5-88688-060-7 .

Teoria grupurilor
Noțiuni de bază	Subgrup Subgrup normal Grup de factori Muncă direct semidirectă gratuit
Proprietăți algebrice	grup comutativ Grup ciclic grup ordonat Transformați grupul Grup solubil Lema lui Schreier teorema lui Lagrange teoremele lui Sylow Clasificarea grupurilor finite simple
grupuri finite	Grupa ciclică finită C n Grupul simetric S n Grupul diedric D n Grupa alternativă A n Grupul Cvadruplu Klein grupurile Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ grupuri Conway Co 1 Co2 _ Co3 _ grupuri Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupuri de pescari F22 _ F 23 F24 _ Monstru (M)
Grupuri topologice	Grupuri de minciuni Grupul ortogonal O(n) Grup ortogonal special SO(n) Grupa unitară U(n) Grup unitar special SU(n) Grupa simplectică Sp(n) Simplu excepțional grupul Lorentz grupul Poincaré
Algoritmi pe grupuri	Schreier - Sims Todd - Coxeter transformata Fourier