Subgrup normal

Un subgrup normal (de asemenea un subgrup invariant sau un divizor normal ) este un subgrup de tip special ale cărui seturi stânga și dreapta coincid. Astfel de grupuri sunt importante deoarece permit construirea unui grup de factori .

Definiții

Un subgrup al unui grup se numește normal dacă este invariant la conjugări, adică pentru orice element al și oricare dintre elemente se află în : $N$ $G$ $n$ $N$ $g$ $G$ $gng^{{-1}}$ $N$

N\triangleleft G\,\iff \,\forall \,n\in N,\forall \g\in G

gng^{-1}\in {N}.

Următoarele condiții de normalitate pentru un subgrup sunt echivalente:

Pentru oricare dintre . $g$ $G$ $gNg^{{-1}}\subseteq N$
Pentru oricare dintre . $g$ $G$ $gNg^{{-1}}=N$
Seturile de clase stânga și dreapta coincid . $N$ $G$
Pentru oricare dintre . $g$ $G$ $gN=Ng$
$N$ este izomorfă la unirea claselor de elemente conjugate.

Condiția (1) este logic mai slabă decât (2), iar condiția (3) este logic mai slabă decât (4). Prin urmare, condițiile (1) și (3) sunt adesea folosite pentru a demonstra normalitatea unui subgrup, iar condițiile (2) și (4) sunt folosite pentru a demonstra consecințele normalității.

Exemple

$\{e\}$ și sunt întotdeauna subgrupuri normale de . Ele sunt numite banale. Dacă nu există alte subgrupuri normale, atunci grupul se numește simplu . $G$ $G$ $G$

Centrul unui grup este un subgrup normal.

Comutatorul unui grup este un subgrup normal.

Orice subgrup caracteristic este normal, deoarece conjugarea este întotdeauna un automorfism .

Toate subgrupurile unui grup abelian sunt normale, deoarece . Un grup non-abelian în care fiecare subgrup este normal se numește hamiltonian . $N$ $G$ $gN=Ng$

Grupul de translații paralele într-un spațiu de orice dimensiune este un subgrup normal al grupului euclidian ; de exemplu, în spațiul 3D, întoarcerea, deplasarea și întoarcerea înapoi au ca rezultat o schimbare simplă.

În grupul cubului Rubik , un subgrup format din operații care acționează numai asupra elementelor de colț este normal, deoarece nicio transformare conjugată nu va determina ca o astfel de operație să acționeze asupra elementului de margine, nu asupra elementului de colț. În schimb, un subgrup format din rotații ale feței superioare nu este normal, deoarece fileurile permit deplasarea în jos a părților feței superioare.

Proprietăți

Normalitatea este păstrată sub homomorfisme surjective și retrageri.
Miezul homomorfismului este un subgrup normal.
Normalitatea se păstrează la construirea produsului direct .
Un subgrup normal al unui subgrup normal nu trebuie să fie normal în grup, adică normalitatea nu este tranzitivă . Cu toate acestea, subgrupul caracteristic al unui subgrup normal este normal.
Fiecare subgrup al indicelui 2 este normal. Dacă este cel mai mic divizor prim de ordinul lui , atunci orice subgrup al indicelui este normal. $p$ $G$ $p$
Dacă este un subgrup normal în , atunci în setul de clase din stânga (dreapta) se poate introduce o structură de grup conform regulii $N$ $G$ $G/N$

(g_{1}N)(g_{2}N)=(g_{1}g_{2})N

Mulțimea rezultată se numește grup de factori în raport cu .

G

N

$N$ este normal dacă și numai dacă acționează trivial asupra claselor din stânga ale . $G/N$
Fiecare subgrup normal este cvasinormal

Fapte istorice

Évariste Galois a fost primul care a înțeles importanța subgrupurilor normale.

Link -uri

Vinberg E. B. Curs de algebră - M . : Editura Presa Factorială, 2002, ISBN 5-88688-060-7
Kostrikin A.I. Introducere în algebră. Partea a III-a. Structuri de bază. - Ed. a 3-a. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 272 p. - ISBN 5-9221-0489-6 .

Teoria grupurilor
Noțiuni de bază	Subgrup Subgrup normal Grup de factori Muncă direct semidirectă gratuit
Proprietăți algebrice	grup comutativ Grup ciclic grup ordonat Transformați grupul Grup solubil Lema lui Schreier teorema lui Lagrange teoremele lui Sylow Clasificarea grupurilor finite simple
grupuri finite	Grupa ciclică finită C n Grupul simetric S n Grupul diedric D n Grupa alternativă A n Grupul Cvadruplu Klein grupurile Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ grupuri Conway Co 1 Co2 _ Co3 _ grupuri Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupuri de pescari F22 _ F 23 F24 _ Monstru (M)
Grupuri topologice	Grupuri de minciuni Grupul ortogonal O(n) Grup ortogonal special SO(n) Grupa unitară U(n) Grup unitar special SU(n) Grupa simplectică Sp(n) Simplu excepțional grupul Lorentz grupul Poincaré
Algoritmi pe grupuri	Schreier - Sims Todd - Coxeter transformata Fourier