Extinderea grupului

O extensie de grup este un grup care conține grupul dat ca subgrup normal de . În problema extensiei, de regulă, sunt date un subgrup normal și un grup de coeficient și se caută o extensie astfel încât , sau, echivalent, astfel încât să existe o secvență exactă scurtă : $N$ $Q$ $G\supset N$ $G/N\cong Q$ $G$

1\la N\la G\la Q\la 1

În acest caz, se spune că este o extensie prin [1] (uneori se folosește o altă formulare: grupul este o extensie prin [2] [3] ). $G$ $Q$ $N$ $G$ $N$ $Q$

O extensie se numește extensie centrală dacă subgrupul se află în centrul grupului . $N$ $G$

Exemple

Grupurile sunt, de asemenea, extensii cu . $\mathbb {Z} _{4}$ $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2)$ ${\mathbb {Z}}_{2}$ ${\mathbb {Z}}_{2}$

O extensie evidentă este un produs direct : dacă , atunci este și o extensie a și . Dacă este un produs semidirect al grupurilor și ( ), atunci este o extensie cu . $G=K\times H$ $G$ $H$ $K$ $G$ $K$ $H$ $G=K\rtimes H$ $G$ $H$ $K$

Produsele de coroane ale grupurilor oferă exemple suplimentare de extensii.

Proprietăți

Dacă cerem că și sunt grupuri abeliene , atunci mulțimea claselor de izomorfism ale extinderii unui grup cu un grup dat (abelian) este, de fapt, un grup care este izomorf la : $G$ $Q$ $Q$ $N$

\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)

( Functor Ext ). Sunt cunoscute și alte clase generale de extensii, dar nu există nicio teorie care să ia în considerare toate extensiile posibile în același timp, în acest sens problema extinderii grupului este de obicei considerată dificilă.

Deoarece fiecare grup finit are un subgrup normal maxim cu un grup de factori simplu , toate grupurile finite pot fi construite ca serie de compoziție , unde fiecare grup este o extensie a unui grup simplu . Acest fapt a devenit unul dintre stimulentele importante pentru rezolvarea problemei clasificării grupurilor finite simple . $G$ $N$ $G/N$ $\{A_{i}\}$ $A_{{i+1}}$ $A_{i}$

Clasificarea extensiilor

Rezolvarea problemei extensiilor înseamnă clasificarea tuturor extensiilor unui grup cu , sau, mai precis, exprimarea tuturor acestor extensii în termeni de entități matematice care sunt mai simple într-un anumit sens (ușor de calculat sau bine înțeles). În general, această sarcină este foarte dificilă și toate cele mai utile rezultate clasifică extensiile care îndeplinesc unele condiții suplimentare. $H$ $K$

Pentru problema clasificării, un concept important este echivalența extensiilor; se spune că extensiile sunt:

1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1

și

1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1

sunt echivalente (sau congruente) dacă există un izomorfism de grupcare facediagrama comutativă : $T:G\la G'$

De fapt, este suficient să existe un grup de homomorfism. Datorită comutativității presupuse a diagramei, maparea este forțată să fie un izomorfism de către lema scurtă pe cinci homomorfisme .

Se poate întâmpla ca extensiile și să nu fie echivalente, ci să fie izomorfe ca grupuri. De exemplu, există extensii neechivalente ale grupului cvadruplu Klein folosind [4] , dar există, până la izomorfism, doar patru grupuri de ordinul 8 care conțin un subgrup de ordin normal cu un grup de coeficient izomorf cu grupul cvadruplu Klein . $1\la K\la G\la H\la 1$ $1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$ $G$ $G'$ $opt$ ${\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}$ $2$

Extensii banale

O extensie banală este o extensie:

1\la K\la G\la H\la 1

care este echivalent cu extensia:

1\to K\to K\times H\to H\to 1

unde săgețile stânga și dreapta sunt includerea și respectiv proiecția fiecărui factor . $K\time H$

Clasificări ale extensiilor divizate

O extensie divizată este o extensie:

1\la K\la G\la H\la 1

cu un homomorfism astfel încât trecerea de la la cu și apoi înapoi la prin maparea factorilor a unei secvențe exacte scurte generează maparea identității pe , adică . În această situație, se spune de obicei că împarte secvența exactă de mai sus . $s\colon H\la G$ $H$ $G$ $s$ $H$ $H$ $\pi \circ s=\mathrm {id} _{H}$ $s$

Extensiile divizate sunt foarte ușor de clasificat, deoarece o extensie este împărțită dacă și numai dacă grupul este un produs semidirect al și . Produsele semidirecte sunt ele însele ușor de clasificat, deoarece corespund unu-la-unu homomorfismelor , unde este grupul automorfismului . $G$ $K$ $H$ $H\to \operatorname {Aut} (K)$ $\operatorname {Aut} (K)$ $K$

Extindere centrală

Expansiunea centrală a unui grupeste scurta secvență exactă de grupuri $G$

1\la A\la E\la G\la 1

astfel încât se află în ( centrul grupului ). Setul de clase de izomorfism de extensii de grup central cu (unde acționează trivial asupra ) este o corespondență unu-la-unu cu grupul de coomologie . $A$ $Z(E)$ $E$ $G$ $A$ $G$ $A$ $H^{2}(G,A)$

Exemple de extensii centrale pot fi construite luând orice grup și orice grup abelian , setând egal cu . Acest tip de exemplu de divizare (o extensie divizată în sensul problemei extinderii, deoarece este un subgrup de ) este de puțin interes, deoarece corespunde unui element în conformitate cu corespondența de mai sus. Exemple mai serioase se găsesc în teoria reprezentărilor proiective în cazurile în care reprezentările proiective nu pot fi ridicate la reprezentări liniare obișnuite . $G$ $A$ $E$ $A\time G$ $G$ $E$ $0$ $H^{2}(G,A)$

În cazul grupurilor perfecte finite, există o extensie centrală perfectă universală .

În mod similar, extensia centrală a algebrei Lie este secvența exactă $\mathfrak{g}$

0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0,

unul care este in centru . $\mathfrak{a}$ ${\mathfrak {e)}$

Există o teorie generală a extensiilor centrale în soiurile Maltsev [5] .

Grupuri de minciuni

În teoria grupurilor Lie , extensiile centrale apar în legătură cu topologia algebrică . În linii mari, extensiile centrale ale grupurilor Lie de grupuri discrete sunt aceleași cu grupurile de acoperire . Mai precis, un spațiu de acoperire conectat al unui grup de Lie conectat este o extensie centrală naturală a grupului , cu proiecția $G^{\ast }$ $G$ $G$

\pi \colon G^{*}\to G

este un grup de homomorfism și este surjectiv. (Structura unui grup depinde de alegerea mapării elementului de identitate cu elementul de identitate .) De exemplu, când este acoperirea universală a grupului , nucleul este grupul fundamental al grupului , despre care se știe că este abelian ( spațiul H ). În schimb, dacă sunt date un grup de Lie și un subgrup central discret , grupul de coeficient este un grup de Lie și este spațiul său de acoperire. $G^{\star )$ $G$ $G^{\star )$ $G$ $\pi$ $G$ $G$ $Z$ $G/Z$ $G$

Mai general, dacă grupurile , și în extensia centrală sunt grupuri Lie și mapările dintre ele sunt homomorfisme ale grupului Lie, atunci dacă algebra Lie a grupului este , algebra este , iar algebra este , atunci este extensia centrală a the Lie algebra by . În terminologia fizicii teoretice , generatorii de algebră sunt numiți sarcini centrale . Acești generatori se află în centrul algebrei . După teorema lui Noether, generatorii de grupuri de simetrie corespund unor cantități conservate și se numesc sarcini . $A$ $E$ $G$ $G$ $\mathfrak g$ $A$ ${\mathfrak a}$ $E$ ${\mathfrak {e)}$ ${\mathfrak {e)}$ $\mathfrak g$ $\mathbf {a}$ ${\mathfrak a}$ ${\mathfrak {e)}$

Exemple de bază de extensii centrale ca grupuri de acoperire:

grupurile spinoare , care acoperă dublu grupele ortogonale speciale , care (în dimensiune pară) acoperă dublu grupul ortogonal proiectiv ;
grupuri metaplectice care acoperă grupuri simplectice de două ori .

Cazul implică grupul fundamental, care este un grup ciclic infinit ; aici extensia centrală este bine cunoscută din teoria formelor modulare pentru cazul formelor cu greutate . Reprezentarea proiectivă corespunzătoare este reprezentarea Weyl construită din transformata Fourier , în acest caz, pe axa reală . Grupurile metaplectice apar și în mecanica cuantică . $SL_{2}(\mathbf {R} )$ ${\tfrac {1}{2))$

Vezi și

Lie Algebra Extension
Extensie de apel
Algebră Virasoro
Extensia HNN
Extensie grup topologic

Note

↑ În algebra generală , cel mai adesea, o extensie de structură este de obicei considerată a fi o structură în care se află o substructură, astfel, în special, este definită o extensie de câmp ; dar in teoria grupurilor (posibil datorita notatiei ) s-a stabilit o terminologie diferita, iar accentul nu se pune pe , ci pe coeficientul grupului , deci se crede ca este extins cu ajutorul lui . $K$ $L\ supărat K$ $K$ $\operatorname {Ext} (Q,N)$ $N\subset G$ $Q$ $Q$ $N$
↑ Observația 2.2. . Preluat la 15 martie 2019. Arhivat din original la 26 mai 2019. (nedefinit)
↑ Brown, Porter, 1996 , p. 213–227.
↑ Dummit, Foote, 2004 , p. 830.
↑ Janelidze, Kelly, 2000 .

Literatură

David S. Dummit, Richard M. Foote. algebră abstractă. - A treia editie. - Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 2004. - ISBN 0-471-43334-9 .
McLane S. Omologie. — M .: Mir, 1966.
Taylor RL Acoperirea grupurilor de grupuri topologice neconectate // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1954. - T. 5 . — S. 753–768 .
Brown R., Mucuk O. Acoperirea grupurilor de grupuri topologice neconectate revizuite // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1994. - T. 115 . — p. 97–110 .
Brown R., Porter T. Despre teoria Schreier a extensiilor non-abeliene: generalizări și calcule // Proceedings of the Royal Irish Academy. - 1996. - T. 96A . — S. 213–227 .
Janelidze G., Kelly GM Extensii centrale în soiurile Malt'sev // Teoria și aplicațiile categoriilor. - 2000. - T. 7 . — S. 219–226 .
Morandi PJ Group Extensions și $H^{3}$ .
Extensii de grup . GroupNames . Data accesului: 14 iunie 2019. (nedefinit)