Progresie aritmetică generalizată - un set de numere sau elemente ale unui grup arbitrar , reprezentabil ca
pentru unii . [unu]
O progresie se numește propriu- zisă dacă toate numerele formei sunt diferite, adică conține elemente.
Rangul (sau dimensiunea ) progresiei este numărul de termeni din reprezentarea fiecărui element (în notația de mai sus, numărul ).
Când , progresia aritmetică generalizată este numită și cubul [2] -dimensional (deoarece există o mapare liniară de la ) în ea.
Când mulțimea este o progresie aritmetică obișnuită .
Progresiile aritmetice generalizate sunt o construcție care este mai puțin structurată decât progresia aritmetică obișnuită, dar are totuși o structură netrivială (când dimensiunea progresiei este mare și rangul este mic). Acest lucru le face un instrument convenabil pentru studierea și generalizarea teoremelor combinatoriei aritmetice legate de derivarea structurii din caracteristicile numerice ale unei mulțimi, cum ar fi energia aditivă , factorul de dublare etc. [3]
Unele teoreme structurale ale combinatoriei aditive demonstrează existența unei progresii aritmetice generalizate de rang suficient de mic și dimensiuni suficient de mari în mulțimi suficient ordonate, sau posibilitatea de a acoperi o astfel de mulțime printr-o progresie aritmetică generalizată de rang mic și mic (limitată de o formulă de pe dimensiunea setului) dimensiune.
Progresiile aritmetice generalizate pot fi folosite pentru a demonstra teorema lui Roth . [patru]
În general, demonstrarea prezenței progresiilor aritmetice generalizate într-o mulțime, pe baza unor fapte cunoscute despre această mulțime, este adesea mai ușoară decât demonstrarea prezenței progresiilor aritmetice obișnuite.