Energie aditivă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 22 noiembrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Energia aditivă este o caracteristică numerică a unei submulțimi a grupului care ilustrează structurarea mulțimii în raport cu funcționarea grupului. Termenul a fost inventat de Terence Tao și Wang Wu [1] .

Definiție

Să fie un grup. $(G,+)$

Energia aditivă a mulțimilor și se notează și este egală cu [2] numărul de soluții ale următoarei ecuații: $A\subset G$ $B\subset G$ $E_{+}(A,B)$

a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}(a_{1},a_{2}\în A,b_{1},b_{2}\în B)

În mod similar, se poate defini energia multiplicativă (de exemplu, într-un inel ) ca numărul de soluții ale ecuației: $E_{\times}(A,B)$

a_{1}b_{1}=a_{2}b_{2}(a_{1},a_{2}\în A,b_{1},b_{2}\în B)

Valori extreme

Ea atinge cea mai mică valoare atunci când toate sumele sunt diferite (deoarece, atunci ecuația este valabilă numai pentru ) - de exemplu, când și este un set de generatori diferiți ai unui grup dintr-un set generator minim . Apoi $E_{+}(A,B)$ $a+b\ (a\în A,b\în B)$ $\{a_{1},b_{1}\}=\{a_{2},b_{2}\}$ $A=B$ $A$ $G$ $E(A,A)={\frac {|A|^{2}+|A|}{2))$

Cea mai mare valoare este atinsă atunci când și este un subgrup de . În acest caz, pentru orice număr de soluții ale ecuației este , deci $E_{+}(A,B)$ $A=B$ $A$ $G$ $x\în A$ $a+b=x\(a,b\in A)$ $|A|$ $E_{+}(A,A)=|A|^{3)$

În consecință, valorile ordinului de creștere intermediar între și pot fi considerate ca un indicator mai mare sau mai mic al proximității structurii de structura subgrupului. Pentru unele grupuri , anumite restricții asupra energiei aditive fac posibilă demonstrarea teoremelor structurale privind existența subgrupurilor suficient de mari în interior (sau a unei mulțimi derivate din aceasta) și a înglobării (sau a unei mulțimi derivate din aceasta) în subgrupuri suficient de mici . [3] Restricțiile pentru aceste teoreme sunt legate de exponentul de torsiune al grupului și generatorii săi individuali. Cu toate acestea, pentru grupurile ciclice și fără torsiune, există teoreme similare care iau în considerare progresii aritmetice generalizate în loc de subgrupuri . $E_{+}(A,A)$ $|A|^{2}$ $|A|^{3}$ $A$ $G$ $G$ $A$ $A$ $G$ $G$ $G$

Proprietăți de bază

E_{+}(A,B)=E_{+}(A,-B)=E_{-}(A,B)

E_{+}(A,B)|A+B|\geq |A|^{2}|B|^{2)

, unde [2]

A+B=\left\lbrace {a+b:a\in A,b\in B}\right\rbrace

Dovada

Să notăm . $\lambda (x)=\#\left\lbrace {(a,b)\in A\times B:a+b=x}\right\rbrace$

Apoi și, conform inegalității Cauci-Bunyakovsky , $E_{+}(A,B)=\sum \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)^{2))$

$E_{+}(A,B)\geq {\frac {1}{|A+B|}}\sum \left({\sum \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)}}\dreapta)^{2}={\frac {1}{|A+B|}}(|A||B|)^{2}$

Pentru un inel de reziduuri prim , energia aditivă poate fi exprimată în termeni de sume trigonometrice . Să notăm . Apoi $G={\mathbb {F} }_{p}$ $e_{p}(k)=e^{2\pi {\frac {k}{p}}i}$

E_{+}(A,B)={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{({\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{b\in B}{ e_{p}(tb)}}{\Bigg \vert }}^{2}}

Dovada

Vom folosi notația Iverson și identitatea indicatorului .

E_{+}(A,B)=\sum \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}{[a_{1 }+b_{1}=a_{2}+b_{2}]}=\sum \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B }{{\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2} -b_{2))}}={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{\sum \limits _{a_{1},a_{ 2 }\în A,b_{1},b_{2}\în B}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2}-b_{2})))}}

={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p} (ta)))\right){\overline {\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}\right)}}\left({\sum \limits _{b\în B}{e_{p}(tb)}}\right){\overline {\left({\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}\ dreapta)))={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{({\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\în A }{e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)} }{\Bigg \vert }}^{2}}

Rețineți că expresia în termeni de sume trigonometrice este valabilă numai pentru energia aditivă, dar nu și pentru energia multiplicativă, deoarece folosește în mod explicit proprietățile adunării în . ${\mathbb {F} }_{p)$

Aplicații

Energiile aditive și multiplicative sunt utilizate în combinatoria aditivă și aritmetică pentru a analiza sume combinatorii și produse de set , în special pentru a demonstra teorema produs-sumă . $A+B=\left\lbrace {a+b:A+B}\right\rbrace$

Energii bătrâne

Există două generalizări principale ale ecuației care definește energia aditivă - după numărul de termeni și după numărul de egalități:

E_{k}(A)=\#\left\lbrace {a_{1}-b_{1}=a_{2}-b_{2}=\dots =a_{k}-b_{k} \ :\ a_{i},b_{i}\in A}\right\rbrace =\sum \limits _{s}{|A\cap (A+s)|^{k}}

T_{k}(A)=\#\left\lbrace {\sum \limits _{i=1}^{k}{x_{i}}=\sum \limits _{i=1}^ {k}{y_{i}}\ :\ x_{i},y_{i}\în A}\right\rbrace

Ele sunt numite energii superioare [4] și uneori este posibil să se obțină estimări pentru ele fără a obține estimări pentru energia aditivă obișnuită. [5] [6] În același timp , inegalitatea lui Hölder permite (cu o deteriorare semnificativă) estimarea energiei obișnuite în termenii celor superioare.

Pentru parametrul din , sunt uneori luate în considerare numerele reale și nu doar numere întregi (pur și simplu prin substituție în ultima expresie). [7] $k$ $E_k$

Vezi și

Teorema sumă-produs
Teorema structurală a lui Chang

Literatură

Iu N. Şteinikov. Estimări pentru sumele trigonometrice pe subgrupe și unele dintre aplicațiile acestora // Note matematice. - 2015. - T. 98 , nr. 4 . - S. 606-625 . (Rusă)

I. D. Shkredov. Câteva rezultate noi privind energiile superioare (engleză) // Proceedings of the Moscow Mathematical Society. - 2013. - Vol. 74 , iss. 1 . - P. 35-73 .

Note

↑ co.combinatorics - De unde provine termenul „energie aditivă”? - MathOverflow . Preluat la 23 august 2019. Arhivat din original la 23 august 2019. (nedefinit)
↑ 1 2 M. Z. Garaev, Sums and products of sets and estimates of rational trigonometric sums in fields of prim order, Uspekhi Mat. Nauk, 2010, volumul 65, numărul 4 (394) , p. 25 (după paginare)
↑ Prelegeri ale laboratorului lui Cebyshev, curs „Combinatorică aditivă” (Fyodor Petrov), prelegerea 6 , din momentul 1:11:30
↑ Shkredov, 2013 .
↑ Şteinikov, 2015 , p. 607, teorema 4.
↑ arXiv : 1808.08465v4 Misha Rudnev, George Shakan, Ilya Shkredov, „Stronger sum-product inequalities for small sets”, p. 5, corolarul 7
↑ Shkredov, 2013 , p. 59, Teorema 6.3.