Teorema optică

Teorema optică este o relație în teoria ondulatorie a împrăștierii care leagă amplitudinea împrăștierii și secțiunea transversală a împrăștierii . $f(\theta )$ $\sigma$

Teorema optică este formulată după cum urmează:

\sigma ={\frac {4\pi {k}}\operatorname {Im} f(0),

unde este amplitudinea de împrăștiere înainte, este secțiunea transversală totală de împrăștiere și este vectorul de undă al undei incidente. Deoarece teorema este o consecință a legii conservării energiei (probabilitate în mecanica cuantică), este o afirmație destul de generală, cu o gamă largă de aplicații. $f(0)$ $\sigma$ $k$

O formă mai generală a teoremei:

f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi } }\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} '')\,d\omega ''.

Dovada

Forma asimptotică a amplitudinii de împrăștiere la distanțe mari:

\psi \approx e^{ikr(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')}+{\frac {1}{r}}f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')e^{ikr},

unde este direcția incidenței particulelor și este direcția împrăștierii. $\mathbf n$ $\mathbf {n} '$

Orice combinație liniară de funcții cu direcții diferite de incidență reprezintă, de asemenea, un posibil proces de împrăștiere. Înmulțind cu coeficienți arbitrari și integrând pe toate direcțiile , obținem o astfel de combinație liniară sub forma unei integrale. $\psi$ $\psi$ $F(\mathbf {n} )$ $\mathbf n$

\int F(\mathbf {n} )e^{ikr(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')}\,d\Omega +{\frac {e^{ikr}}{r }}\int F(\mathbf {n} )f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')\,d\Omega .

Deoarece distanța este mare, factorul din prima integrală este o funcție care oscilează rapid a direcției vectorului variabil . Valoarea integralei este deci determinată în principal de zonele din apropierea acelor valori la care exponentul are un extrem ( ). În fiecare dintre aceste regiuni, factorul poate fi scos din semnul integral, după care integrarea dă $r$ $e^{ikr(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '))$ $\mathbf n$ $\mathbf n$ $\mathbf {n} \pm \mathbf {n} '$ $F(\mathbf {n} )\aproximativ F(\pm \mathbf {n} ')$

2\pi iF(-\mathbf {n} '){\frac {e^{-ikr}}{kr}} -2\pi iF(\mathbf {n} '){\frac {e^ {ikr}}{kr}}+{\frac {e^{ikr}}{r}}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')F(\mathbf {n} )\, d\Omega .

Să rescriem această expresie într-o formă mai compactă, omițând factorul comun : $2\pi i/k$

{\frac {e^{-ikr}}{r}}F(-\mathbf {n} ')-{\frac {e^{ikr}}{r}}{\hat {S}} F(\mathbf {n} '),

Unde

{\hat {S}}=1+2ik{\hat {f)),

a este un operator integral: ${\pălărie {f)}$

{\hat {f}}F(\mathbf {n} ')={\frac {1}{4\pi }}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')F (\mathbf {n} )\,d\Omega .

Primul termen al funcției de undă descrie o undă care converge spre centru, iar al doilea descrie o undă divergentă de la centru. Conservarea numărului de particule în împrăștiere elastică este exprimată prin egalitatea fluxurilor totale de particule în unde convergente și divergente. Cu alte cuvinte, aceste unde trebuie să aibă aceeași normalizare. Pentru aceasta, operatorul de împrăștiere trebuie să fie unitar , adică. ${\pălărie {S)}$

{\hat {S}}{\hat {S}}^{+}={\hat {1)),

sau (ținând cont de expresia pentru ): ${\pălărie {S)}$

{\hat {f}}-{\hat {f}}^{+}=2ik{\hat {f}}{\hat {f}}^{+}.

În final, ținând cont de definiția lui , obținem afirmația teoremei: ${\pălărie {f)}$

f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi } }\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} '')\,d\Omega ''.

Literatură

Landau L. D. , Lifshits E. M. Mecanica cuantică (teorie non-relativista). — Ediția a IV-a. — M .: Nauka , 1989. — 768 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul III). - ISBN 5-02-014421-5 .