Gap (matematică)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 20 decembrie 2021; verificările necesită 4 modificări .

Intervalul [1] , sau, mai precis, intervalul dreptei numerice , este mulțimea numerelor reale - astfel încât, dacă două numere aparțin acestei mulțimi, atunci orice număr situat între ele aparține și acestei mulțimi [2] . Folosind simboluri logice, această definiție poate fi scrisă după cum urmează:

un set este un interval numai dacă

X\subseteq \mathbb {R}

\forall x\forall y\forall z{\big (}(x\in X)\wedge (z\in X)\wedge (x<y<z)\Rightarrow y\in X{\big ) },

unde este cuantificatorul universal . Următoarele seturi sunt exemple de lacune: $\pentru toți$

{\begin{aligned}X_{1}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leqslant x\leqslant 1\},&X_{2}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leqslant x<1\},&X_{3}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0<x\leqslant 1\},\\X_{4}&=\ {x\in \mathbb {R} \colon 0<x<1\},&X_{5}&=\{x\in \mathbb {R} \colon x>0\},&X_{6}&=\ {x\in \mathbb {R} \colon x<1\},\\X_{7}&=\mathbb {R} ,&X_{8}&=\varnothing .\end{aligned}}

Tipuri de goluri

Sfârșit interval

Intervalul finit constă dintr-un set de numere cuprins între două numere și - capetele intervalului , care pot fi incluse sau nu în alcătuirea lui [1] . Dacă a ≤ b , atunci lungimea unui astfel de interval se numește număr . $A$ $b$ $|ab|=|ba|=ba$

Interval finit închis (închis)

Dacă , atunci intervalul se numește segment [3] sau segment numeric și se notează cu : $a \leqslant b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}$ $\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\)$ $[a,b]$

[a,b]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\}.

În cazul în care, segmentul degenerează într-un set de un punct (într-un singleton ). $a=b$

Open End Gap

Dacă , atunci intervalul se numește interval și se notează cu : $a < b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}$ $\{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b \}$ $(a,b)$

(a,b)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}.

Pentru a desemna un gol deschis, ei folosesc adesea desemnarea la sugestia lui N. Bourbaki . $(a,b)$ $]a,b[$

Semi-închis (semi-deschis) interval finit

goluri

[a,b)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x<b\},\quad (a, b]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leqslant b\}

se numesc semi- segmente (nu sunt captusite la un segment) sau semi-intervale .

Infinite Gap

Lacune infinite

\{x\in \mathbb {R} \colon x\geqslant a\}, \quad \{x\in \mathbb {R} \colon x>a\}, \quad \{x\in \ mathbb {R} \colon x\leqslant b\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x<b\}\quad

și

\quad \mathbb {R}

pe partea pozitivă sau negativă nu se limitează la niciun număr real. În acest caz, este convenabil să presupunem că aceste intervale au numere improprii și ca unul dintre capete sau ambele capete , presupunând că relația este adevărată pentru orice număr real . Denumirile și denumirile intervalelor infinite sunt similare cu denumirile pe care le au pentru intervale finite. De exemplu, seturile de mai sus pot fi rescrise în consecință ca $-\infty$ $+\infty$ $x \in \mathbb{R}$ $-\infty <x<+\infty$

[a,+\infty),\quad (a,+\infty),\quad (-\infty,b],\quad (-\infty,b),\quad (-\infty,+\ infty ),

Mai mult, datorită faptului că și , prin definiție, nu sunt incluse în aceste seturi, nu sunt incluse în aceste seturi. $-\infty$ $+\infty$ $\mathbb {R} ,$

Spațiu gol

Mulțimea goală este, de asemenea, un interval, care se încadrează trivial sub definiția sa: $\varnothing$

[b,a]=(b,a)=[b,a)=(b,a]=(a,a)=[a,a)=(a,a]=\varnothing ,

unde a < b .

Intervalele liniei numerice extinse afin

Mulțimea numerelor reale , completată cu elemente și , se numește linie reală extinsă (mai precis extinsă afin , pentru a distinge de linia dreaptă extinsă proiectiv ) și se notează , adică $\mathbb {R}$ $+\infty$ $-\infty$ $\overline{\mathbb{R}}$

{\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}=[-\infty ,+\infty ].

Mai mult, pentru orice număr real , prin definiție, inegalitățile $x \in \mathbb{R}$

-\infty < x, \quad x < +\infty, \quad -\infty < +\infty

Pentru dreapta numerică extinsă sunt introduse și conceptele de intervale - segmente, intervale, semiintervale [1] . Spre deosebire de intervalele corespunzătoare ale dreptei numerice, acestea pot conține elemente . De exemplu, . $\pm \infty$ $(a, +\infty] = (a, +\infty) \cup {\{+\infty\))$

Terminologie

În rusă, cuvintele interval și interval corespund unui cuvânt englezesc interval . În literatura engleză [4] și în traducerile cărților străine, precum și în alte cărți în limba rusă, se folosește următoarea terminologie :

[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\)

- interval închis ( în engleză interval închis ),

(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\)

- interval deschis ( interval deschis în engleză ),

[a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x<b\}

- interval semideschis (sau semi-închis) ( în engleză interval semi-deschis / interval semi-închis ),

{\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leqslant b\))

- semi-deschis (sau semi-închis) interval ( în engleză semi-open interval / half-closed interval ).

Adică, într-o astfel de terminologie, toate sunt numite intervale , dar numai de alt tip.

În literatura mai veche în limba rusă [5] în loc de „interval” se folosește cuvântul interval : interval închis , interval deschis , interval semideschis (sau semiînchis ) .

Cu toate acestea, mai ales în literatura educațională, unde există cel mai mare număr de teoreme pentru funcții pe mulțimi compacte, este de preferat să folosiți un nume separat pentru un interval închis într-un singur cuvânt - segment [3] (termenul „segment” are mai mult un aspect geometric conotație, cum ar fi „un interval al unei linii numerice” ). În acest caz, termenul „interval” este atribuit numai golului deschis.

Vezi și seturi deschise și închise .

Fapte

Teorema valorii intermediare

Cunoscuta teoremă Bolzano-Cauchy asupra valorilor intermediare ale unei funcții continue spune: imaginea oricărui interval sub o mapare continuă este, de asemenea, un interval. Această teoremă are o generalizare în cazul spațiilor topologice arbitrare : imaginea unei mulțimi conexate sub o mapare continuă este conexă. Intervalele numerice și, în plus, doar ele sunt doar submulțimi conectate . $\mathbb {R}$

Operații cu intervale

În practică, intervalul caracterizează adesea intervalul de valori posibile ( aproximativ ) ale valorii măsurate. Operațiile aritmetice pot fi definite pe setul de astfel de intervale. Apoi, rezultatul calculelor asupra cantităților poate fi asociat cu calculele corespunzătoare pe intervalele lor, care determină în cele din urmă intervalul de valori posibile pentru rezultat.

Măsură

Intervalele dreptei numerice, precum și dreptunghiurile în plan, paralelipipedele dreptunghiulare în spațiu etc., sunt unul dintre obiectele principale pe care se bazează teoria măsurii , deoarece sunt cele mai simple mulțimi a căror măsură ( lungime , suprafață , volum , etc.). etc.) ) este ușor de determinat.

Generalizări

Seturi conectate

O generalizare a intervalului dreptei reale este noțiunea de spațiu topologic conex . Pe linia reală, fiecare set conectat este un decalaj și invers, fiecare decalaj este un set conectat.

De asemenea, întinderea dreptei numerice stă la baza unei alte noțiuni, mai speciale, de conexiune liniară . În mulțimea numerelor reale , precum și în spațiul euclidian de dimensiune arbitrară , conceptele de conexiune și conexiune liniară coincid. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

Mulțimi convexe

O altă generalizare a noțiunii de interval al unei drepte numerice este noțiunea de mulțime convexă .

Goluri în seturi parțial ordonate

În cazul cel mai general, conceptul de interval poate fi introdus pe orice mulțime pe care este introdusă relația de ordine . $<$

Vezi și

Note

↑ 1 2 3 Kudryavtsev, L. D. Curs de analiză matematică. - a 5-a ed. - M. : „Bustarda de afaceri”, 2003. - T. 1. - S. 64-65. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .
↑ Într-un număr de surse este descris ca un interval ; de exemplu, vezi Interval // Kazahstan. Enciclopedia Națională . - Almaty: Enciclopedii kazahe , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (Rusă) (CC BY SA 3.0)
↑ 1 2 V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sennov . Capitolul 2. Numere reale // Analiza matematică / Ed. A. N. Tihonova . - Ed. a 3-a. , revizuit si suplimentare - M. : Prospekt, 2006. - T. I. - S. 53. - 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 . Arhivat pe 23 iunie 2015 la Wayback Machine
↑ Gelbaum, B., Olmsted, J. Counterexamples in Analysis = Counterexamples in Analysis. - M. : LKI, 2007. - S. 17-18. — 258 p. — ISBN 978-5-382-00046-6 .
↑ Fikhtengolts, G. M. Fundamentals of Mathematical Analysis. - Ed. a VII-a. - M. : „FIZMATLIT”, 2002. - T. 1. - S. 35. - 416 p. — ISBN 5-9221-0196-X .

Dicționare și enciclopedii	Mare norvegian Rusă mare