Grup ordonat

Un grup ordonat este un grup , pentru toate elementele cărora este definită o ordine liniară , în concordanță cu operația de grup. În plus, operația este desemnată ca adunare, zeroul grupului este notat cu simbolul . În general, un grup poate să nu fie comutativ . $0$

Definiție

Fie un grup și o ordine liniară este definită pentru elementele sale , adică este dată o relație ( mai mică sau egală cu ) cu următoarele proprietăți: $G$ $\leqslant$

Reflexivitate : . $x \leqslant x$
Tranzitivitate : dacă și , atunci . $x \leqslant y$ $y\leqslant z$ $x\leqslant z$
Antisimetrie : dacă și , atunci . $x \leqslant y$ $y\leqslant x$ $x=y$
Liniaritate : toate elementele grupului sunt comparabile între ele, adică pentru orice , sau . $X y$ $x \leqslant y$ $y\leqslant x$

În plus, solicităm ca ordinea să fie în concordanță cu operația de grup:

Dacă , atunci pentru orice z sunt adevărate următoarele relații: $x \leqslant y$

x+z\leqslant y+z;\quad z+x\leqslant z+y.

Dacă toate cele cinci axiome sunt valabile, atunci se spune că grupul este ordonat (sau ordonat liniar ). Dacă eliminăm cerința de liniaritate (axioma 4), atunci grupul se numește parțial ordonat . $G$

Un grup ordonat este un grup topologic cu topologie de tip interval [1] .

Definiții înrudite

Pentru comoditatea notării, sunt introduse relații secundare suplimentare:

Un raport mai mare sau egal cu : înseamnă că .

x\geqslant y

y\leqslant x

Raportul mai mare decât : înseamnă că și .

x>y

x\geqslant y

x\ney

Un raport mai mic decât : înseamnă că .

x<y

y>x

O formulă cu oricare dintre aceste patru relații se numește inegalitate .

Un izomorfism de grupuri ordonate îl numim izomorfism y dacă păstrează ordinea.

Un subgrup al unui grup ordonat se numește convex dacă toate elementele dintre elemente aparțin Notație formală: dacă și atunci Un subgrup de un zero este în mod evident convex și se numește trivial . $H$ $G$ $g\în G$ $H,$ $H.$ $h_{1},h_{2}\in H$ $h_{1}\leqslant g\leqslant h_{2},$ $g\in H.$

Proprietăți

Se pot adăuga inegalități cu aceleași tipuri de relații [2] , de exemplu:

Dacă și atunci

a<b

c<d,

a+c<b+d

Un grup finit netrivial nu poate fi ordonat [3] . Cu alte cuvinte, un grup ordonat non-trivial este întotdeauna infinit.

Arhimede

O ordine dintr-un grup se numește arhimedean dacă pentru oricare și există o astfel de naturală încât: $a>0$ $b>0$ $n,$

\underbrace {a+a+\ldots +a}_{{n}}>b

Teorema lui Holder . Fiecare grup arhimedian ordonat este y-izomorf cu un subgrup al grupului aditiv al numerelor reale (cu ordinea obișnuită); în special, un astfel de grup este întotdeauna comutativ [4] .

Corolarul 1: orice automorfism y a două subgrupe ale grupului aditiv al numerelor reale se reduce la dilatare, adică la înmulțire cu un coeficient fix [4] .

Corolarul 2: grupul de automorfisme y al grupului arhimedian este izomorf cu un subgrup al grupului multiplicativ al realilor pozitive [4] .

Un alt criteriu pentru a fi arhimedian: un grup ordonat este arhimedian dacă și numai dacă nu conține subgrupuri convexe netriviale [1] .

Elemente pozitive și negative

Elementele mai mari decât zero ale grupului sunt numite pozitive , iar mai mici decât zero- negative . Adăugarea zero la aceste două seturi are ca rezultat un set de elemente nenegative și , respectiv, nepozitive . Dacă atunci, adăugând obținem că Aceasta înseamnă că elementele care sunt inverse față de nenegative sunt nepozitive și invers. Astfel, fiecare element al unui grup ordonat aparține uneia și numai uneia dintre cele trei categorii: pozitiv, negativ, zero. $x\geqslant 0,$ $-x,$ $-x\leqslant 0.$

Se notează mulţimea elementelor nenegative. Atunci , setul de elemente opuse elementelor conține toate elementele nepozitive. Enumerăm proprietățile acestor mulțimi [5] [1] . $P$ $-P,$ $P,$

(P1) este închis sub adaos.

P

(P2) are exact un element în comun, zero al grupului:

-P

P

P\cap (-P)=\{0\}.

(P3) pentru orice

(-g)+P+g\subset P

g\în G.

(P4)

P\cup (-P)=G.

Construcția constructivă a ordinului

O modalitate de a defini o ordine liniară într-un grup arbitrar este de a selecta un subset de numere nenegative P în el care are proprietățile enumerate mai sus [P1–P4]. $G$

Să fie evidențiat acest lucru. Să definim o ordine liniară în felul următor [5] : $P$ $G$

x \leqslant y

, if (rețineți că proprietatea (P3) implică că dacă atunci și chiar dacă grupul nu este comutativ).

yx\in P

yx\in P,

-x+y\in P,

Toate axiomele de ordine de mai sus sunt apoi satisfăcute. Orice grup ordonat poate fi construit (dintr-unul neordonat) folosind procedura descrisă [5] .

Valoare absolută

Să definim valoarea absolută a elementelor grupului: Aici funcția selectează cea mai mare valoare. $|x|=max(x,-x).$ $max$

Proprietăți de valoare absolută [6] :

$|x|=0$ dacă și numai dacă $x=0.$
Pentru toți non-zero și numai pentru ei $X$ $|x|>0.$
Valorile absolute ale numerelor opuse sunt aceleași: $|x|=|-x|.$
Inegalitatea triunghiului : $|x+y|\leqslant |x|+|y|.$
$|x|\leqslant y$ este echivalent cu $-y\leqslant x\leqslant y.$

Exemple

Grupul aditiv de numere întregi , raționale sau reale cu ordinea obișnuită.
Grupul multiplicativ al numerelor reale pozitive cu ordinea obișnuită.
Considerăm un grup aditiv de polinoame reale Definim mulțimea elementelor nenegative din acesta ca mulțime de polinoame în care primul coeficient diferit de zero este pozitiv în notația dată. Atunci ordinea generată definește un grup comutativ ordonat [7] . $a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}.$ $P$
În grupul aditiv al tuturor numerelor complexe , se definește mulțimea elementelor nenegative astfel: dacă oricare sau Cu alte cuvinte, a două numere complexe, cel cu partea reală mai mare este mai mare, iar în cazul unei coincidențe , cel cu partea imaginară mai mare. Apoi ordinea generată se transformă într-un grup comutativ ordonat cu un ordin non-Arhimedian [8] . În ea, de exemplu, în plus, suma oricărei mărimi este întotdeauna mai mică decât 1, astfel încât unitatea imaginară din această ordine apare ca infinit mică în raport cu unitatea. Ordinea descrisă este în concordanță cu ordinea numerelor reale și cu adunarea numerelor complexe, dar nu este consecventă cu înmulțirea: înmulțind prin inegalitate, obținem o inegalitate eronată . Se dovedește că este imposibil să reconciliezi ambele operații, adică să faci din numere complexe un câmp ordonat . $G$ $P$ $a+bi\in P,$ $a>0,$ $a=0;b\geqslant 0.$ $G$ $0<i<1,$ $i$ $i$ $i>0,$ $-1>0$

Note

↑ 1 2 3 Enciclopedia de matematică, 1982 .
↑ Nechaev, 1975 , p. 85, Teorema 5.2.1.
↑ Nechaev, 1975 , p. 87, Teorema 5.2.6.
↑ 1 2 3 Kokorin, Kopytov, 1972 , p. 27-28.
↑ 1 2 3 Fuchs, 1965 , p. 25-26.
↑ Bourbaki, 1965 , p. 253-255.
↑ Kokorin, Kopytov, 1972 , p. 13.
↑ Fuchs, 1965 , p. 29.

Literatură

Bourbaki N. Algebră. Polinoame și câmpuri. Grupuri ordonate. — M .: Nauka, 1965. — 300 p. .
Kokorin A. I. , Kopytov V. M. Grupuri ordonate liniar. - M. : Nauka, 1972. - 343 p.
Grupă ordonată liniar // Enciclopedie matematică (în 5 volume). - M . : Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 3. - S. 322.
Nechaev V. I. Sisteme numerice. - M . : Educaţie, 1975. - 199 p.
Fuchs L. Sisteme algebrice parțial ordonate. - M . : Mir, 1965. - 343 p.

Teoria grupurilor
Noțiuni de bază	Subgrup Subgrup normal Grup de factori Muncă direct semidirectă gratuit
Proprietăți algebrice	grup comutativ Grup ciclic grup ordonat Transformă grupul Grup solubil Lema lui Schreier teorema lui Lagrange teoremele lui Sylow Clasificarea grupurilor finite simple
grupuri finite	Grupa ciclică finită C n Grupul simetric S n Grupul diedric D n Grupa alternativă A n Grupul Cvadruplu Klein grupurile Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ grupuri Conway Co 1 Co2 _ Co3 _ grupuri Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupuri de pescari F22 _ F 23 F24 _ Monstru (M)
Grupuri topologice	Grupuri de minciuni Grupul ortogonal O(n) Grup ortogonal special SO(n) Grupa unitară U(n) Grup unitar special SU(n) Grupa simplectică Sp(n) Simplu excepțional grupul Lorentz grupul Poincaré
Algoritmi pe grupuri	Schreier - Sims Todd - Coxeter transformata Fourier