Paradoxul lui Bell

Paradoxul lui Bell este unul dintre binecunoscutele paradoxuri relativiste ale teoriei speciale a relativității . În cea mai faimoasă versiune a lui John Stuart Bell însuși [1] , paradoxul apare atunci când se ia în considerare un experiment de gândire care include două nave spațiale care accelerează în aceeași direcție și leagă cu un șir întins la limită (o navă zboară strict înaintea celeilalte , adică accelerația este direcționată de-a lungul șirului). Dacă navele încep să accelereze sincron, atunci în cadrul de referință care însoțește navele, distanța dintre ele va începe să crească și șirul se va rupe . Pe de altă parte, în cadrul de referință în care navele au fost mai întâi în repaus, distanța dintre ele nu crește și, prin urmare, sfoara nu ar trebui să se rupă . Care punct de vedere este corect? Conform teoriei relativității, prima este ruperea unei sfori.

Cronologic, prima mențiune a paradoxului este cuprinsă în lucrarea lui E. Dewan și M. Beran din 1959 [2] , care au considerat rezultatul unui astfel de experiment de gândire ca o confirmare a realității contracției relativiste a corpurilor .

O explicație suficient de detaliată a efectului unei ruperi de cablu care conectează rachete cu accelerare sincronă a fost oferită de fizicianul sovietic D. V. Skobeltsyn în cartea sa „Paradoxul gemenului în teoria relativității”. Cartea a fost scrisă în 1959 și publicată în 1966 [3] .

Experimentul gândirii lui Bell

În versiunea lui Bell, două nave spațiale, inițial în repaus în raport cu un cadru de referință inerțial (ISR) , sunt conectate printr-un șir întins la limită. La ora zero, conform ceasului ISO corespunzător, ambele nave încep să accelereze cu propria lor accelerație constantă , măsurată de accelerometrele plasate la bordul fiecărei nave . Întrebarea este, se va rupe sfoara? $g$

În conformitate cu opinia lui Dewan și Beran, precum și a lui Bell, în cadrul de referință în care navele erau inițial în repaus, distanța dintre ele va rămâne neschimbată, dar lungimea șirului va experimenta o contracție relativistă, astfel încât la un moment dat firul se va rupe. În formularea lui Bell, aceasta este reprezentată după cum urmează [4] :

Trei rachete spațiale mici, A, B și C, derivă liber într-o regiune a spațiului îndepărtată de restul materiei, fără rotație și fără mișcare relativă, cu B și C echidistante de A (Fig. 1).

La primirea unui semnal de la A, motoarele B și C sunt pornite, iar rachetele încep să accelereze lin (Fig. 2). Fie rachetele B și C să fie identice și să aibă programe de accelerație identice. Apoi (conform observatorului de la A) vor avea aceeași viteză în fiecare moment de timp și, astfel, rămân deplasați unul față de celălalt cu aceeași distanță.

Să presupunem că de la început B și C sunt conectate cu un fir subțire (Fig. 3). Și dacă la început firul este suficient de lung pentru a acoperi distanța necesară, atunci pe măsură ce rachetele accelerează, acesta va deveni mai scurt, pe măsură ce suferă contracția Fitzgerald și, în cele din urmă, se va rupe. Ar trebui să se rupă atunci când, la o viteză suficient de mare, prevenirea artificială a compresiei naturale duce la o tensiune inacceptabilă.

Este adevarat? Această veche problemă a fost odată subiect de discuție în sala de mese de la CERN. Un fizician experimentat respectat a refuzat să accepte că firul se va rupe și a respins credința mea de contrariu ca fiind propria mea înțelegere greșită a relativității speciale. Am decis să apelăm la Departamentul de Teorie al CERN pentru arbitraj și am făcut un sondaj de opinie (nu foarte sistematic) pe această temă. A existat un consens clar că firul nu se va rupe! Desigur, mulți care dau acest răspuns greșit la început, vin după ce se gândesc la cel corect. De obicei, se simt obligați să vadă cum i se pare totul unui observator B sau C. Ei constată că B, de exemplu, îl vede pe C din ce în ce mai departe, astfel încât o anumită bucată de fir nu mai poate acoperi distanța dintre ei. Abia după ce au făcut acest lucru, și poate cu un sentiment rezidual de neliniște, acești oameni ajung în cele din urmă la o concluzie destul de banală din punctul de vedere al lui A, având în vedere contracția Fitzgerald. Impresia mea este că cei cu o educație mai clasică, care cunosc o parte din raționamentul lui Larmor, Lorentz și Poincaré și Einstein, au o intuiție mai puternică și mai de încredere.

S-au ridicat obiecții împotriva acestei soluții a problemei, care au fost apoi, la rândul lor, supuse criticii. De exemplu, Paul Nawrocki a sugerat că șirul nu ar trebui să se rupă [ 5] , în timp ce Edmond Dewan și-a apărat punctul de vedere original într-o lucrare de răspuns [ 6] . Bell a scris că s-a întâlnit cu scepticismul reținut al „unului experimentator binecunoscut” ca răspuns la expunerea sa asupra paradoxului. Pentru a rezolva disputa, a avut loc o întâlnire informală a Departamentului Teoretic CERN . Bell afirmă că „consensul clar” al departamentului a fost că sfoara nu trebuie să se rupă. Bell adaugă în continuare: „Desigur, mulți oameni care au primit răspunsul greșit la început au ajuns la răspunsul corect printr-un raționament suplimentar” [1] . Mai târziu, în 2004 , Matsuda și Kinoshita [7] au scris că o lucrare pe care au publicat-o într-un jurnal japonez care conținea o versiune redescoperită independent a paradoxului a fost puternic criticată. Autorii însă nu citează lucrări critice, afirmând doar că au fost scrise în japoneză.

Analiză bazată pe ecuația non-relativistă a mișcării

În analize ulterioare, vom considera navele spațiale ca corpuri punctuale și vom lua în considerare numai lungimea șirului. Analiza se referă la cazul în care navele îşi opresc motoarele după o anumită perioadă de timp . Coordonatele galileene vor fi utilizate în toate cadrele de referință inerțiale . $T$

În conformitate cu prezentarea lui Dewan și Beran, precum și a lui Bell, în cadrul de referință al „locurilor de lansare” (față de care navele se odihneau înainte de pornirea motoarelor și pe care le vom numi CO ), distanța dintre nave . trebuie să rămână constantă „ prin definiție ”. $S$ $L$ $A$ $B$

Acest lucru poate fi ilustrat după cum urmează. Deplasarea navelor în raport cu pozițiile lor inițiale - de-a lungul axei CO - în funcție de timp poate fi scrisă ca . Această funcție, în general, depinde de funcția de tracțiune a motoarelor, dar este important să fie aceeași pentru ambele nave spațiale. Prin urmare, poziția fiecărei nave în funcție de timp va fi: $X$ $S$ $f(t)$

x_{A}=a_{0}+f(t),\quad x_{B}=b_{0}+f(t),

Unde

f(t)

pentru este egal cu 0 și este continuu pentru toate valorile lui ;

t<0

t

x_{A}

- pozitia ( -coordonata) navei ;

X

A

x_B

- pozitia ( -coordonata) navei ;

X

B

a_{0}

este poziția navei la ;

A

t=0

b_{0}

este pozitia navei la .

B

t=0

Din aceasta, care este o valoare constantă care nu depinde de timp. Acest argument este valabil pentru toate tipurile de mișcare sincronă. $x_{A}-x_{B}=a_{0}-b_{0)$

Astfel, cunoașterea vederii detaliate nu este necesară pentru o analiză ulterioară. Rețineți, totuși, că forma pentru accelerația adecvată constantă este bine cunoscută (vezi mișcarea hiperbolică ). $f(t)$ $f(t)$

Privind diagrama spațiu-timp (din dreapta), se poate observa că navele spațiale nu vor mai accelera în evenimente și , care sunt simultane în CO . De asemenea, este evident că aceste evenimente nu sunt simultane în CO care însoțește navele. Acesta este un exemplu de relativitate a simultaneității . $A'$ $B'$ $S$

Din precedentul este clar că lungimea liniei este egală cu lungimea , care, la rândul său, coincide cu distanța inițială dintre nave. De asemenea, este evident că vitezele navelor și în CO după sfârșitul fazei de mișcare accelerată sunt egale cu . În cele din urmă, distanța adecvată dintre navă spațială după sfârșitul fazei de mișcare accelerată va fi egală cu distanța din IFR însoțitor și egală cu lungimea liniei . Această linie este o linie de coordonată constantă - timp a cadrului de referință însoțitor, care este conectată cu coordonatele în CO prin transformări Lorentz : $A'B'$ $AB$ $L$ $A$ $B$ $S$ $v$ $A$ $B$ $A'B''$ $t'$ $S$

t'={\frac {\left(t-vx/c^{2}\right)}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}.

$A'B''$ reprezinta o linie luata simultan fata de SS-ul navelor spatiale, adica pentru ele una pur spatiala. Deoarece intervalul este invariant sub transformările CO, acesta poate fi calculat în orice cadru de referință convenabil, în acest caz în . $S$

Matematic, prin coordonate în CO, considerațiile de mai sus sunt scrise după cum urmează: $S$

t_{{B'}}=t_{{A'}}\,,

x_{B}-x_{A}=x_{{B'}}-x_{{A'}}=L\,,

x_{{B''}}-x_{{B'}}=v\left(t_{{B''}}-t_{{B'}}\dreapta),

t_{{B''}}-{\frac {v}{c^{2}}}x_{{B''}}=t_{{A'}}-{\frac {v}{c^{ 2}}}x_{{A'}}\,,

\overline {A'B''}={\sqrt {\left(x_{{B''}}-x_{{A'}}\right)^{2}-c^{2}\left(t_ {{B''}}-t_{{A'}}\right)^{2}}}\,.

Prin introducerea de variabile auxiliare

H=t_{{B''}}-t_{{B'}}=t_{{B''}}-t_{{A'}}\,,

W=x_{{B''}}-x_{{B'}}\,,

și observând că

W+L=x_{{B''}}-x_{{B'}}+x_{{B'}}-x_{{A'}}=x_{{B''}}-x_{{A '}}\,,

puteți rescrie ecuația ca

W=vH\qquad H={\frac {v}{c^{2}}}\left(W+L\right)\qquad \overline {A'B''}={\sqrt {\left(W +L\dreapta)^{2}-c^{2}H^{2}}}

si rezolva-l:

\overline {A'B''}={\frac {L}{{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}.

În consecință, atunci când se descrie în cadrul de referință comoving, distanța dintre nave crește cu un factor. Deoarece sfoara nu poate fi întinsă așa, se va rupe. $\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}$

Pe baza acestor rezultate, Bell a ajuns la concluzia că teoria relativității trebuia revizuită. El a observat că contracția relativistă a corpurilor, precum și absența contracției în distanțele dintre navele spațiale în experimentul de gândire luat în considerare, pot fi explicate dinamic folosind ecuațiile lui Maxwell. Distorsiunea câmpurilor electromagnetice intermoleculare determină contracția corpurilor în mișcare - sau solicitări în ele, dacă contracția lor este împiedicată. Dar aceste forțe nu acționează între nave.

Rezolvarea relativistă a problemei

Problema relativistă a mișcării corpurilor cu accelerații egale a atras atenția cercetătorilor cu mult înainte de apariția paradoxului lui Bell. În 1907, Einstein [8] , pornind de la teoria relativistă a gravitației, a arătat că timpul curge diferit în sistemele accelerate. Astfel, Einstein, prin principiul echivalenței, a prezis deplasarea gravitațională spre roșu . În special, într-un „cadru uniform accelerat” sau, ceea ce este același lucru, într-un cadru de referință uniform accelerat, rata timpului depinde de distanță : ${\textstyle \delta =x_{B}-x_{A}}$

τ = e g δ c 2 , {\displaystyle \tau =e^{g\delta \over c^{2)),}

\tau =e^{g\delta \over c^{2)),

unde g este accelerația punctelor.

Ecuația relativistă a mișcării unui corp [9] de masă m sub influența unei forțe ${\textstyle F_{x}}$

m c 2 d 2 X d s 2 = F X , {\displaystyle mc^{2}{d^{2}x \over ds^{2}}=F_{x},}

mc^{2}{d^{2}x \over ds^{2}}=F_{x},

iar intervalul este proporțional cu timpul potrivit. Ora potrivită (citirile ceasului standard de bord al rachetei) este determinată de mișcarea rachetei și nu poate fi modificată în niciun fel. De exemplu, sincronizați cu un ceas „staționar”.

{\textstyle s=c\tau }

În coordonatele curbilinie se folosesc metode ale teoriei generale a relativității. Pentru a vă descrie propriul cadru de referință non-inerțial, este necesar să aplicați diferențierea covariantă

m c 2 D u X d s = F X , {\displaystyle mc^{2}{Du^{x} \over ds}=F^{x},}

mc^{2}{Du^{x} \over ds}=F^{x},

Mai mult, mișcarea în câmpul gravitațional este descrisă de ecuația (ecuația geodezică) [9] .

{\textstyle Du^{x}=0}

Dacă trebuie să cunoaștem accelerația unui punct în spațiul tridimensional, atunci expresia corespunzătoare în termeni generali pare destul de complicată [10] . Cu toate acestea, în propriul său cadru de referință (viteza punctelor este zero), accelerația este exprimată simplu:

d 2 X i d t 2 = c 2 Γ 00 i . {\displaystyle {d^{2}x^{i} \over dt^{2}}=c^{2}\Gamma _{00}^{i}.}

{d^{2}x^{i} \over dt^{2}}=c^{2}\Gamma _{00}^{i}.

Astfel, calculele lui Bell și calculele similare nu se aplică fizicii relativiste a sistemelor accelerate. Răspunsul exact poate fi obținut folosind metodele teoriei generale a relativității. Cu toate acestea, problema lui Bell poate fi rezolvată și direct din principiile teoriei relativității.

Strict, pe baza constanței vitezei luminii, problema mișcării relativiste a corpurilor cu aceeași accelerație a fost rezolvată de Harry Lass în 1963 [11] . Lass a rezolvat problema unidimensională a unui sistem uniform accelerat folosind principiul constanței vitezei luminii. Lass a considerat un cadru de referință care accelerează de-a lungul unei axe în raport cu un sistem de coordonate inerțiale . În plus, postulând că , și (viteza coordonată a luminii este o invariabilă), am obținut transformarea $O'XYZ$ $X$ $Oxyz$ $dX/dT=\pm c$ $dx/dt=\pm c$

X = c 2 g [ e g X / c 2 bani lichizi ⁡ g T c − unu ] {\displaystyle x={\frac {c^{2}}{g}}\left[e^{gX/c^{2}}\cosh {\frac {gT}{c}}-1\right] }

x={\frac {c^{2}}{g}}\left[e^{gX/c^{2}}\cosh {\frac {gT}{c}}-1\right]

și t = c g e g X / c 2 sinh ⁡ g T c . {\displaystyle t={\frac {c}{g}}e^{gX/c^{2}}\sinh {\frac {gT}{c}}.}

t={\frac {c}{g}}e^{gX/c^{2}}\sinh {\frac {gT}{c}}.

Soluția lui Lass corespunde cu soluția lui Einstein pentru ceasurile dintr-un sistem accelerat uniform, iar accelerația lui este într-adevăr constantă .

{\textstyle \Gamma _{00}^{i}=g/c^{2}}

Dacă în problema Bell rachetele sunt oprite, adică luate , atunci distanța dintre ele va fi întotdeauna fixată: ${\textstyle T=0}$

L | T = 0 = c 2 g ( e g X B / c 2 − e g X A / c 2 ) . {\displaystyle L|_{T=0}={\frac {c^{2}}{g}}\left(e^{gX_{B}/c^{2}}-e^{gX_{A }/c^{2}}\dreapta).}

L|_{T=0}={\frac {c^{2}}{g}}\left(e^{gX_{B}/c^{2}}-e^{gX_{A }/c^{2}}\dreapta).

Din această ecuație, reiese că distanța dintre rachetele din cadrul inerțial este redusă în conformitate cu legea Lorentz: X B − X A = unu − v 2 / c 2 L . {\displaystyle x_{B}-x_{A}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2)}}L.}

x_{B}-x_{A}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2)}}L.

Paradoxul a fost rezolvat. Rachetele care accelerează în mod egal păstrează distanța în propriul cadru de referință. Mai mult, observatorul „fix” vede contracția obișnuită a lui Lorentz.

Vezi și

Note

↑ 1 2 Bell, JS Vorbitor și nespus în mecanica cuantică (nedefinit ) - Cambridge: Cambridge University Press , 1987. Carte remarcabilă care conține o retipărire a articolului original al lui Bell din 1976 .
↑ Dewan, E.; Beran, M. Notă privind efectele stresului datorate contracției relativiste // American Journal of Physics : journal. - Asociația Americană a Profesorilor de Fizică , 1959. - 20 martie ( vol. 27 , nr. 7 ). - P. 517-518 . - doi : 10.1119/1.1996214 . (link indisponibil)
↑ Skobeltsyn D.V. Paradoxul gemenilor în teoria relativității. — M.: Nauka, 1966. — S. 72.
↑ Bell, John. Cum să predați relativitatea specială (neopr.) .
↑ Nawrocki, Paul J. Stress Effects due to Relativistic Contraction // American Journal of Physics : journal. - 1962. - Octombrie ( vol. 30 , nr. 10 ). - P. 771-772 . - doi : 10.1119/1.1941785 . (link indisponibil)
↑ Dewan, Edmond M. Stress Effects due to Lorentz Contraction // American Journal of Physics : journal. - 1963. - Mai ( vol. 31 , nr. 5 ). - P. 383-386 . - doi : 10.1119/1.1969514 . (link indisponibil)
↑ Matsuda, Takuya; și Kinoshita, Atsuya. Un paradox al două nave spațiale în relativitate specială (neopr.) // Buletinul AAPPS. - 2004. - T. februarie . — S.? . versiune tipărită
↑ Einstein, A. Despre principiul relativității și consecințele sale. Traducere rusă, vezi A. Einstein. Culegere de lucrări științifice, vol. 1. - M., editura Nauka, 1965.
↑ 1 2 Landau LD, Lifshitz EM Teoria clasică a câmpurilor Vol. 2 (ed. a IV-a). Butterworth-Heinemann (1975).
↑ Sazhin M V Teoria generală a relativității pentru astronomi. URL: http://www.astronet.ru/db/msg/1170927 Copie de arhivă din 20 iulie 2018 la Wayback Machine , p. 8.2.1.
^ Lass , H. Accelerating Frames of Reference and the Clock Paradox , American Journal of Physics, voi. 31, pp. 274-276, 1963.

Link -uri

Gershtein S. S. , Logunov A. A. „ Problema lui J. S. Bell ” (IHEP preprint 1996)
Gershtein S. S., Logunov A. A. J. Problema lui Bell // Fizica particulelor elementare și a nucleului atomic . - 1998. - T. 29 , nr. 5 . - S. 463-468 .
Michael Weiss, Bell's Spaceship Paradox (1995 ) , USENET Relativity FAQ
Austin Gleeson, Note de curs Capitolul 13 Vezi Secțiunea 4.3
JH Field, [1] (link nu este disponibil )
Romain, JE O abordare geometrică a paradoxurilor relativiste //

Am . J Phys. : jurnal. - 1963. - Vol. 31 . - P. 576-579 . (Engleză)

Hsu, Jong-Ping; și Suzuki. Extended Lorentz Transformations for Accelerated Frames and the Solution of the "Two-Spaceship Paradox" // Buletinul AAPPS : jurnal. - 2005. - Vol. octombrie . — P.? . versiune tipărită. (link nu este disponibil )

Redžić DV(2010) „Agonia relativistică a continuat” (engleză)

Foukzon J., Podosyonov SA, Potapov AA,(2009), „Extinderea relativistică a lungimii în sistemul general accelerat revizuită” . (Engleză)

Podosyonov SA, Foukzon J. și Potapov AA, (2010) „A Study of the Motion of a Relativistic Continuous Medium” ,

Gravitation and Cosmology, 2010, Vol. 16, Nr. 4, pp. 307-312. ISSN 0202-2893, http://www.springerlink.com/content/j8kr55831h411365/ ( link indisponibil)