Eversiune sferă

Eversiunea unei sfere este procesul de schimbare a locurilor suprafețelor exterioare și interioare ale unei sfere în spațiul tridimensional în condițiile topologiei diferențiale . Este permisă autointersecția suprafețelor, dar în fiecare moment nu are discontinuități și păstrează netezimea . Cu alte cuvinte, imaginea sferei în fiecare moment de deformare trebuie să rămână diferențiabilă .

Posibilitatea inversării unei sfere a fost descoperită pentru prima dată de matematicianul american Stephen Smale . Este destul de dificil de prezentat un exemplu specific al unei astfel de transformări, prin urmare acest rezultat se numește paradoxul lui Smale [1] . Pentru claritatea explicației, au fost create multe vizualizări.

Formulare

Să existe o încorporare standard a unei sfere în spațiul tridimensional. Apoi, există o familie continuă cu un singur parametru de imersiuni netede , astfel încât și . $f\colon \mathbb {S} ^{2}\la \mathbb {R} ^{3)$ $f_{t}\colon \mathbb {S} ^{2}\la \mathbb {R} ^{3},\\t\in [0,1]$ $f_0=f$ $f_{1}=-f$

Istorie

Posibilitatea inversării unei sfere a fost descoperită pentru prima dată de matematicianul american Stephen Smale în 1957 . Raul Bott , consultantul de teză al Smale, a declarat inițial că rezultatul a fost aparent incorect. El a explicat acest lucru prin faptul că o astfel de transformare ar trebui să păstreze gradul de cartografiere gaussiană . De exemplu, nu există o astfel de transformare pentru un cerc în interiorul unui plan. Totuși, pentru un spațiu tridimensional, gradele mapărilor gaussiene y și y to sunt ambele egale cu 1 și nu au semne opuse, contrar unei presupuneri eronate. Gradul de cartografiere Gaussian pentru toate imersiunile în este egal cu 1, deci nu există obstacole. $f$ $-f$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {S} ^{2)$ $\mathbb {R} ^{3}$

Variații și generalizări

Eversiunea unei sfere se poate face și în clasa imersiilor izometrice netede. [2] $C^1$
O sferă cu șase dimensiuni , încorporată într-un spațiu euclidian cu șapte dimensiuni , permite, de asemenea, un interior spre exterior. Împreună cu o sferă zero-dimensională (două puncte) pe o linie și o sferă bidimensională c, acestea sunt singurele cazuri posibile în care o sferă încorporată în interior poate fi întoarsă pe dos. $S^{6}$ $\mathbb {R} ^{7)$ $S^{0}$ $\mathbb {R}$ $S^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $S^{n}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$
- În plus, teorema Smale-Kaiser este valabilă : oricare două scufundări de sfere în sunt în mod regulat homotopice dacă și numai dacă . Pentru toate celelalte , sferele imbricate cu orientări diferite nu sunt în mod regulat homotopice. [3] $S^{n}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ $n=0,2,6$ $n$
Principiul H este o modalitate generală de a rezolva astfel de probleme.

Note

↑ E. A. Kudryavtseva,. „Implementarea funcțiilor netede pe suprafețe ca funcții de înălțime” . Mat. Sat., 190:3 (1999), 32 . www.mathnet.ru Consultat la 23 februarie 2017. Arhivat din original pe 24 februarie 2017. (nedefinit)
↑ Gromov, M. Relații diferențiale în derivate parțiale.
↑ J. Malesic, P.E. Pushkar, D. Repovsh. „Sfere din interiorul din afară” . Preluat la 3 decembrie 2020. Arhivat din original la 25 noiembrie 2020. (nedefinit)

Literatură

Smale, Stephen O clasificare a imersiunilor celor două sfere. Trans. amer. Matematică. soc. 90 1958 281-290.
Francis, J. Cartea cu imagini de topologie cum se desenează imagini matematice. Moscova: Mir, 1991. Capitolul 6. Întoarcerea sferei pe dos.
Skopenkov A.B. Topologie algebrică din punct de vedere geometric. - Ed. a II-a, adaug. - M: MTsNMO, 2020. - 304 p.

Link -uri

Vizualizarea eversiunii unei sfere prin metoda lui William Thurston (cu subtitrare în rusă).
Ricky Reusser, Rendering a sphere eversion , bazat pe o familie de suprafețe reglate