Principiul h

Principiul H (a se citi principiul cenușă ) este o modalitate generală de rezolvare a ecuațiilor cu diferențe parțiale și, mai general, a relațiilor diferențiale parțiale. Principiul H este bun pentru sistemele subdeterminate , cum ar fi cele care apar în probleme de imersare , imersiune izometrică și altele.

Teoria a luat forma în lucrările lui Eliashberg , Gromov și Phillips.

Baza a fost oferită de rezultatele anterioare, în care soluția relațiilor diferențiale a fost redusă la homotopie, în special, în problemele de imersiune.

Primele idei ale principiului h au apărut în teorema Whitney-Grausstein , paradoxul eversiei sferei , teorema Nash-Kuiper și teorema Smale-Hirsch .

Prezentare aproximativă

Să presupunem că vrem să găsim o funcție pe care să satisfacă o ecuație diferențială parțială de grad în coordonate . Această ecuație poate fi scrisă ca $f$ $\mathbb {R} ^{m}$ $k$ $(u_{1},u_{2},\dots,u_{m})$

\Psi (u_{1},u_{2},\dots,u_{m},J_{f}^{k})=0,

unde înseamnă toate derivatele parțiale până la puterea lui . În locul fiecărei variabile înlocuim o variabilă independentă Ecuația noastră originală poate fi considerată ca un sistem $J_{f}^{k)$ $f$ $k$ $J_{f}^{k)$ $y_{1},y_{2},\dots,y_{N}.$

\Psi (u_{1},u_{2},\dots,u_{m},y_{1},y_{2},\dots,y_{N})=0

şi un număr de ecuaţii de tipul următor

y_{j}={\partial ^{k}f \over \partial u_{i_{1}}\ldots \partial u_{i_{k}}}.

Soluția ecuației

\Psi (u_{1},u_{2},\dots,u_{m},y_{1},y_{2},\dots,y_{N})=0

se numește soluție formală sau non- holonomică , soluția sistemului (care este soluția ecuației noastre originale) se numește soluție holonomică .

Pentru ca o soluție holonomică să existe, trebuie să existe o soluție nonholonomică. De obicei, acesta din urmă este destul de ușor de verificat, iar dacă nu este, atunci ecuația noastră originală nu are soluții.

Se spune că o PDE satisface principiul h dacă orice soluție nonholonomică poate fi deformată într-una holonomică din clasa soluțiilor nonholonomice. Astfel, atunci când principiul h este îndeplinit, problema topologic-diferențială se reduce la o problemă algebrică și topologică. Mai precis, aceasta înseamnă că, în afară de cele topologice, nu există alte obstacole în calea existenței soluțiilor holonomice. Problema topologică a găsirii unei soluții nonholonomice este de obicei mult mai simplă.

Multe ecuații cu diferențe parțiale subdeterminate satisfac principiul h.

Neîndeplinirea principiului h pentru o anumită ecuație este de asemenea o afirmație interesantă, intuitiv aceasta înseamnă că obiectele studiate au o geometrie netrivială care nu poate fi redusă la topologie. Un exemplu sunt înglobările lagrangiene într-o varietate simplectică ; nu satisfac principiul h, pentru a demonstra acest lucru, folosesc invarianți bazați pe curbe pseudo-holomorfe.

Cel mai simplu exemplu

Luați în considerare o mașină care se deplasează într-un avion. Poziția mașinii în avion este determinată de trei parametri: două coordonate și (de exemplu, lasă aceste coordonate să specifice poziția punctului de mijloc dintre roțile din spate) și un unghi care descrie orientarea mașinii. În mișcare, mașina satisface ecuația $X$ $y$ $\alfa$

{\dot {x}}\sin \alpha ={\dot {y}}\cos \alpha ,

presupunând că vehiculul se deplasează fără derapaj.

Soluția nonholonomică în acest caz corespunde mișcării mașinii din cauza alunecării în plan. În acest caz, soluțiile non-holonomice nu sunt doar homotopice față de cele holonomice, dar sunt, de asemenea, arbitrar bine aproximate de cele holonomice (acest lucru se poate realiza prin deplasarea înainte și înapoi, ca în parcarea paralelă într-un spațiu limitat) - rețineți că în în acest caz, atât poziția cât și direcția mașinii sunt aproximate arbitrar apropiate. Această din urmă proprietate este mai puternică decât principiul h general; se numește principiul h dens . $C^{0}$

Aplicații

Iată câteva rezultate contraintuitive care pot fi dovedite prin aplicarea principiului h:

Inversarea conului . [1] Se consideră o funcție f pe R 2 fără origine, . Apoi, există o familie continuă de funcții cu un parametru, astfel încât , , și pentru orice gradientul este diferit de zero în orice punct. $f(x)=|x|$ $f_t$ $f_0=f$ $f_{1}=-f$ $t$ $f_t$

Orice varietate deschisă admite o metrică riemanniană (nu completă) de curbură pozitivă (sau negativă).

Eversiunea unei sfere fără șifonare sau ruptură se poate face folosind numai atașamente izometrice de sferă. $C^1$

Teorema lui Nash asupra înglobărilor regulate .

Note

↑ Cursul 27 în Tabachnikov S.L. Fuchs D.B. Divertisment matematic . - MTSNMO, 2011. - 512 p. - 2000 de exemplare. - ISBN 978-5-94057-731-7 . Arhivat pe 2 aprilie 2016 la Wayback Machine

Literatură

Mishachev N.M., Eliashberg Ya.M. Introducere în principiul h . - M .: Centrul de Educație Matematică Continuă din Moscova, 2004. - ISBN 5-94057-126-3 .
Gromov M. Relaţii diferenţiale cu derivate parţiale. - M .: Mir. - ISBN 5-03-001297-4 .
N. H. Kuiper, On C 1 -isometric embeddings // Matematică 1957, Volumul 1, Numărul 2, pp. 17—28.
J. Nash, C 1 -înglobări izometrice // Matematică 1957, volumul 1, numărul 2, pp. 3—16.
M.W. Hirsch, Immersions of multiple. Trans. amer. Matematică. soc. 93 (1959)
S. Smale, Clasificarea imersiilor sferelor în spații euclidiene. Ann. de matematică(2) 69 (1959)
David Spring, Teoria integrării convexe - soluții la principiul h în geometrie și topologie, Monografii în matematică 92, Birkhauser-Verlag, 1998