Parametrul Grüneisen
Parametrul Grüneisen este un parametru adimensional care descrie efectul unei modificări a volumului unei rețele cristaline asupra proprietăților sale vibraționale și, ca urmare, efectul unei schimbări de temperatură asupra dimensiunii sau dinamicii rețelei . Parametrul notat de obicei γ este numit după Eduard Grüneisen . Acest termen este înțeles ca o proprietate termodinamică, care este media ponderată a multor parametri individuali γ i incluși în formularea originală a modelului Grüneisen în ceea ce privește neliniaritățile fononilor [1] .
Definiții termodinamice
Datorită echivalenței dintre multe proprietăți și derivate din termodinamică (de exemplu , relațiile lui Maxwell ), există multe formulări ale parametrului Grüneisen care sunt la fel de adevărate, ducând la numeroase interpretări diferite, dar echivalente ale semnificației sale.
Unele formulări pentru parametrul Grüneisen includ:
|
, |
unde V este volumul și sunt capacitățile termice specifice la presiune și volum constant, E este energia, S este entropia, α este coeficientul volumetric de dilatare termică și sunt compresibilitățile adiabatice și izoterme , este viteza sunetului în mediu, iar ρ este densitatea.
Expresia coeficientului de dilatare termică în termeni de capacitate termică specifică și de compresibilitate în termeni de parametru Grüneisen este numită și legea Grüneisen [2] .
Parametrul Grüneisen pentru cristale perfecte cu interacțiuni perechi
Expresia parametrului Grüneisen pentru un cristal ideal cu interacțiune pereche în spațiul d - dimensional este scrisă ca [3] :
,![{\displaystyle \Gamma _{0}=-{\frac {1}{2d)}{\frac {\Pi '''(a)a^{2}+(d-1)\left[\Pi ' '(a)a-\Pi '(a)\right]}{\Pi ''(a)a+(d-1)\Pi '(a)))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416b813f37cd85b1aa8943f484c7da0e45386f02)
unde este potențialul interatomic și este constanta rețelei de echilibru. Relația dintre parametrul Grüneisen și potențialele Lennard-Jones , Morse și Mie este prezentată în tabel.
| Zăbrele | Dimensiune | Potențialul Lennard-Jones | Potenţialul meu | Potențial Morse |
|---|---|---|---|---|
| Lanţ | ||||
| rețea triunghiulară | ||||
| FCC, BCC | ||||
| "Hiperlatice" | ||||
| Formula generala |
Expresia parametrului Grüneisen al unui lanț unidimensional cu potențial Mie coincide exact cu rezultatele lui MacDonald și Roy. Folosind relația dintre parametrul Grüneisen și potențialul interatomic, se poate deriva o condiție simplă necesară și suficientă pentru expansiunea termică negativă în cristale perfecte cu interacțiuni perechi.
.
O descriere detaliată a parametrului Grüneisen stabilește un test riguros pentru tipul de potențial interatomic [4] .
Definiție microscopică în ceea ce privește frecvențele fononilor
Semnificația fizică a acestui parametru poate fi extinsă și prin combinarea termodinamicii cu un model microscopic rezonabil pentru atomii care vibrează într-un cristal. Când forța de restabilire care acționează asupra unui atom deplasat din poziția sa de echilibru este liniară în deplasarea atomului, frecvențele ω i ale fononilor individuali nu depind de volumul cristalului sau de prezența altor fononi și nici de dilatarea termică ( și astfel γ ) este zero. Când forța de restabilire depinde neliniar de deplasare, frecvențele fononilor ω i se modifică cu volumul . Parametrul Grüneisen al unui mod de vibrație individual cu indice este definit ca derivată logaritmică (negativă) a frecvenței corespunzătoare :
Relația dintre modelele microscopice și cele termodinamice
Folosind aproximarea cvasi-armonică pentru vibrațiile atomice, parametrul macroscopic Grüneisen ( γ ) poate fi legat de descrierea modului în care frecvențele vibraționale ale atomilor ( fononi ) din interiorul unui cristal se modifică odată cu schimbarea volumului (adică γ i ). De exemplu, se poate arăta asta
dacă este definită ca o medie ponderată
unde sunt contribuțiile modurilor de fonon individuale la capacitatea termică astfel încât capacitatea termică totală să fie egală cu
Dovada
Pentru a dovedi, trebuie să introduceți capacitatea de căldură per particulă ; Apoi
.
Astfel, este suficient să demonstrezi
.
Partea stanga:
![{\displaystyle \sum _{i}\gamma _{i}c_{V,i}=\sum _{i}\left[-{\frac {V}{\omega _{i)}}{\frac {\partial \omega _{i}}{\partial V}}\right]\left[k_{B}\left({\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}} \right)^{2}{\frac {\exp \left({\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}}\right)}{\left[\exp \left( {\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}}\right)-1\right]^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94021637ae32993e80762bf3851d6159add42235)
Partea dreapta:
![{\displaystyle \alpha VK_{T}=\left[{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}\right] V\left[-V\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T}\right]=-V\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa77712684609ab62610a7335907153325945b7d)
În plus ( relațiile lui Maxwell ):
Această derivată este ușor de determinat în aproximarea cvasi-armonică, deoarece numai ω i sunt dependente de V.
![{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial V}}={\frac {\partial }{\partial V)}\left\{-\sum _{i}k_{B}\ln \left [1-\exp \left(-{\frac {\hbar \omega _{i}(V)}{k_{B}T}}\right)\right]+\sum _{i}{\frac { 1}{T)){\frac {\hbar \omega _{i}(V)}{\exp \left({\frac {\hbar \omega _{i}(V)}{k_{B}T }}\dreapta)-1}}\dreapta\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42b350989a89f7313fa30ac595cf1c95f37ef7ea)
![{\displaystyle V{\frac {\partial S}{\partial V}}=-\sum _{i}{\frac {V}{\omega _{i)}}{\frac {\partial \omega _ {i}}{\partial V}}\;\;k_{B}\left({\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}}\right)^{2}{ \frac {\exp \left({\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}}\right)}{\left[\exp \left({\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}}\right)-1\right]^{2}}}=\sum _{i}\gamma _{i}c_{V,i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f81aaa8a6dac86203c58b62597d2975975e87a0)
Asta da
Link -uri
Note
- ↑ Grüneisen, E., Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente , < https://zenodo.org/record/1424250 > Arhivat la 2 septembrie 2019 la Wayback Machine
- ↑ A. E. Meyerovich. Legea Gruneisen // Enciclopedia fizică : [în 5 volume] / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Enciclopedia Sovietică (vol. 1-2); Marea Enciclopedie Rusă (vol. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
- ↑ Krivtsov, AM & Kuzkin, VA (2011), Derivation of Equations of State for Ideal Crystals of Simple Structure , Mechanics of Solids vol. 46 (3): 387–399 , DOI 10.3103/S002565441103006X
- ↑ LJ; porter. Importanţa parametrilor Gruneisen în dezvoltarea potenţialelor interatomice // J. Appl . Fiz. : jurnal. - 1997. - Vol. 82 , nr. 11 . - doi : 10.1063/1.366305 .