Matricea perunitară

O matrice per-identitate ( matrice de schimb ) este o matrice pătrată, toate elementele diagonalei secundare ale căreia sunt egale cu 1, iar restul sunt 0 (adică identitatea antidiagonală [1] ):

J_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

; ; .

J_{3}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}

J_{n}={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&0&1\\0&0&\cdots &0&1&0\\0&0&\cdots &1&0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots \\\ cdots &0&0&0\\1&0&\cdots &0&0&0\end{pmatrix}}

Folosind simbolul Kronecker , se poate scrie definiția elementelor matricei pre-unității ca . $J_{ij}=\delta _{n+1-i,j)$

Este o matrice de permutare : inversează toate rândurile unei matrice dacă este înmulțită de la stânga cu acea matrice și inversează coloanele dacă este înmulțită de la dreapta.

Unele proprietăți:

$J^{\intercal}=J$ ;
$J^{n}=I$ pentru par și pentru impar , adică involutive - ; $n$ $J^{n}=J$ $n$ $J^{-1}=J$
$\mathop {\rm {tr)}\;J=1$ pentru impar și pentru par ; $n$ $\mathop {\rm {tr)}\;J=0$ $n$
$(JA)_{i,j}=A_{n+1-i,j)$ și pentru o matrice arbitrară ; $(AJ)_{i,j}=A_{i,n+1-j)$ $(n\ ori n)$ $A$
$\det J=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2))$ .

Conceptul de matrice de pre-identitate poate fi folosit pentru a defini matrici care au anumite simetrii, de exemplu, o matrice pătrată este: $A$

centrosimetric dacă ; $AJ=JA$
persimetric dacă ; ${\displaystyle AJ=JA^{\intercal ))$
bisimetric dacă ambele și . ${\displaystyle AJ=JA^{\intercal ))$ $AJ=JA$

Note

↑ Monakov, A. V., V. A. Platonov. Optimizarea metodei de rezolvare a sistemelor liniare de ecuații în OpenFOAM pentru platforma MPI+ CUDA Arhivat 13 octombrie 2016 la Wayback Machine // Proceedings of the Institute for System Programming RAS 26.3 (2014).

Literatură

Roger A. Horn, Charles R. Johnson. Analiza matriceală . — ediția a II-a. - Cambridge University Press , 2012. - P. 33. - ISBN 9781139788885 .