Set dens

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 aprilie 2022; verificarea necesită 1 editare .

O mulțime densă este o submulțime de spațiu ale cărei puncte pot aproxima bine orice punct al spațiului care îl înconjoară. Formal vorbind, este dens în dacă orice vecinătate a oricărui punct din conține un element din . $A$ $X$ $X$ $X$ $A$

Definiții

Să fie dat un spațiu topologic și două submulțimi.Atunci mulțimea se numește densă în mulțime dacă orice vecinătate a oricărui punct conține cel puțin un punct din , i.e. $(X,{\mathcal {T}})$ $A,B\subset X.$ $A$ $B$ $B$ $A$

\forall x\in B\;\forall U\in {\mathcal {T)}\quad {\bigl (}x\in U{\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}U\cap A \neq \varnothing {\bigr )}.

Se spune că o mulțime este densă peste tot dacă este dens în interior $A$ $X.$

Notă

Definiția de mai sus a densității setului este echivalentă cu oricare dintre următoarele:

Mulțimea este densă în dacă și numai dacă închiderea conține , adică . În special, este peste tot dens dacă . $A$ $B$ $A$ $B$ ${\bar {A}}\supset B$ $A$ ${\bar {A}}=B$
Mulțimea este densă în dacă și numai dacă interiorul complementului la nu se intersectează cu , adică . În special, este peste tot dens dacă . $A$ $B$ $A$ $B$ $\left(A^{\complement }\right)^{0}\cap B=\emptyset$ $A$ $\left(A^{\complement }\right)^{0}=\emptyset$

Exemple

Mulțimea numerelor raționale este densă în spațiul numerelor reale . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$

Vezi și

Literatură

R. A. Aleksandryan, E. A. Mirzakhanyan . Topologie generală - M: Liceu, 1979.
Kelly J. L. Topologie generală - M .: Nauka, 1968
Engelking R. Topologie generală - M .: Mir, 1986
Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. Topologie elementară Arhivat 19 februarie 2012 la Wayback Machine . Tutorial în sarcini (rus., ing.)