Măsura Hausdorff

Măsura Hausdorff este denumirea colectivă pentru clasa de măsuri definită pe algebra Borel $\sigma$ a unui spațiu metric . Construit de Felix Hausdorff . [unu] ${\mathcal {B}}(X)$ $X$

Definiție

Luați în considerare o clasă de submulțimi deschise , pe care definim o funcție nenegativă și ${\mathcal {U}}$ $X$ $l=\{l(A)\mid A\in {\mathcal {U}}\}$

\lambda (B,\;\varepsilon )=\inf \left\{\sum _{{i=1}}^{n}l(A_{i})\right\},

unde infimumul este preluat de toate acoperirile finite sau numarabile ale setului Borel prin seturi de la cu diametrul care nu depaseste , i.e. $B\subset X$ ${\mathcal {U}}$ $\varepsilon$

B\subset \bigcup _{{i=1}}^{n}A_{i}\in {\mathcal {U}}

și

\mathrm {diam} \,A_{i}\leqslant \varepsilon ,\quad i=1,\;2,\;\ldots

Măsura Hausdorff definită de clasă și funcție se numește limită $\lambda$ ${\mathcal {U}}$ $l$

\lambda (B)=\lim _{{\varepsilon \to 0}}\lambda (B,\;\varepsilon ).

Exemple

Fie colecția tuturor bilelor din , a , unde . Apoi măsura corespunzătoare va fi numită măsura Hausdorff . Pentru , o astfel de măsură va fi numită măsura liniară Hausdorff , iar pentru , măsura Hausdorff plană . ${\mathcal {U}}$ $X$ $l(A)=({\mathrm {diam}}\,A)^{\alpha }$ $\alpha >0$ $\lambda$ $\alfa$ $\alpha=1$ $\alpha=2$
Dacă , este un set de cilindri cu baze sferice și axe paralele cu direcția axei și este egal cu volumul -dimensional al secțiunii axiale a cilindrului , atunci măsura Hausdorff corespunzătoare se numește măsură cilindrică . $X=\mathbb{R} ^{{n+1}}$ ${\mathcal {U}}$ $x_{{n+1}}$ $la)$ $n$ $A\în {\mathcal {U}}$

Literatură

Dunford, N., Schwartz, J. Operatori liniari. Teoria generala. - per. din engleză .. - M . : Editorial URSS , 2004. - T. 1. - 896 p. - ISBN 5-354-00601-5 . .

Note

↑ Hausdorff, Felix (1918), Dimension und äusseres Mass , Mathematische Annalen T. 79 (1-2): 157–179 , DOI 10.1007/BF01457179 .

Calcul integral

Principal

Generalizări
ale integralei Riemann

Transformări integrale

Integrare numerică

teoria măsurării

subiecte asemănătoare

Liste de integrale