Coordonate semi-geodezice

Coordonatele semigeodezice sau coordonatele normale geodezice sunt coordonate într-o varietate riemanniană -dimensională caracterizată prin faptul că liniile de coordonate corespunzătoare sunt geodezice pe care joacă rolul unui parametru natural , iar suprafețele de coordonate sunt ortogonale cu aceste geodezice. $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ $n$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}=\mathrm {const}$

În coordonate semigeodezice, prima formă pătratică are forma [1]

\mathrm {I} =dx_{1}^{2}+\sum _{i,j=2}^{n}g_{ij}dx_{i}dx_{j},

adica pentru toti . $g_{11}\equiv 1$ $g_{1j}\equiv 0$ $j>1$

Exemple

Coordonatele carteziene din spațiul euclidian sunt semi-geodezice.

Spațiul Lobachevsky admite coordonate semi-geodezice cu tensor metric
${\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&e^{2\cdot x_{1}}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&e^ {2\cdot x_{1}}\end{pmatrix}}$
- Cu alte cuvinte, spațiul Lobachevsky -dimensional este izometric față de produsul curbat . $n$ $\mathbb {R} ^{n-1}{\mathrel {{\times }_{\exp )}}\mathbb {R}$

Proprietăți

Coordonatele semi-geodezice pot fi introduse într-o vecinătate suficient de mică a oricărui punct al oricărei varietăți riemanniene [1] .

Orice varietate completă pur și simplu conectată de curbură nepozitivă admite coordonate semigeodezice globale cu prima coordonată egală cu funcția Busemann .

În cazul unei suprafețe bidimensionale (varietate), prima formă pătratică în coordonate semigeodezice are forma [1] $u,v$ $\mathrm {I} =du^{2}+B^{2}(u,v)dv^{2)$

cu o funcție pozitivă , în timp ce curbura gaussiană a suprafeței este calculată prin formula

B(u,v)

K=-B_{uu}/B.

Literatură

Sh. Kobayashi, K. Nomizu . Fundamentele geometriei diferențiale, M.: Nauka, 1981.
W. Klingenberg . Geometria riemanniană, de Gruyter (1982).
W. Klingenberg . Un curs de geometrie diferențială, Springer (1983).
B. O'Neill . Geometrie semi-riemanniana (cu aplicatii la relativitate), Acad. Presă (1983).

Link -uri

Note

↑ 1 2 3 Enciclopedia de matematică