Muncă deformată

Produsul curbat al varietăților riemanniene și pseudo-riemanniene este o generalizare a produsului direct .

Definiție

Fie și două varietăți pseudo-riemanniene și o funcție pozitivă netedă. Apoi produsul cu metrica se numește produs curbat și prin funcție . Mai precis, spațiul tangent poate fi identificat cu produsul spațiilor tangente și, prin urmare, este posibil să se ia în considerare o sumă directă de forme pătratice pe acesta și este definit ca un tensor metric într-un punct . $B=(B,g)$ $F=(F,h)$ $f\colon B\to \mathbb {R}$ $B\time F$ $g\oplus (f^{2}\cdot h)$ $B=(B,g)$ $F=(F,h)$ $f$ $\mathrm {T} _{(b,x)}(B\time F)$ $\mathrm {T} _{b}B\times \mathrm {T} _{x}F$ $g\oplus (f^{2}\cdot h)$ $(b,x)$

Produsul răsucit este de obicei notat cu . $(B\time F,g\oplus (f^{2}\cdot h))$ $F{\mathrel {{\times }_{f)}}B$

Funcția se mai numește și funcție warp . Spațiul se numește bază, iar spațiul se numește stratul produsului curbat . $f$ $B=(B,g)$ $F=(F,h)$ $F{\mathrel {{\times }_{f)}}B$

Proprietăți

Fiecare strat este izometric . $b\time F\subset B\time F$ $F{\mathrel {{\times }_{f)}}B$ $f(b)\cdot F=(F,f^{2}(b)\cdot h)$
Fiecare nivel este global izometric față de bază . $B\times x\subset B\times F$ $B=(B,g)$
Distanțele dintre puncte sunt complet determinate de bază , două puncte , o funcție și distanța dintre și în strat . $(b_{1},x_{1}),(b_{2},x_{2})\in F{\mathrel {{\times }_{f))}B$ $B=(B,g)$ $b_{1},b_{2}\in B$ $f\colon B\to \mathbb {R}$ $x_{1}$ $x_{2}$ $F$

Exemple

Produsul curbat este izometric față de planul Lobachevsky . $\mathbb {R} {\mathrel {{\times }_{\exp )}}\mathbb {R}$
Suprafața de revoluție este întotdeauna izometrică față de produsul deformat pentru o anumită funcție de deformare și un interval real . $\mathbb {S} ^{1}{\mathrel {{\times }_{f)}}\mathbb {I}$ ${\mathbb {I}}$
Multe soluții ale ecuației Einstein pot fi reprezentate ca produse curbe, de exemplu,
- metrica Schwarzschild ,
- Universul lui Friedman .

Variații și generalizări

Produsul curbat se generalizează în mod natural la produsele spațiilor metrice cu metrica intrinsecă . [unu]

Note