Polar și polar

Polara unui punct P în raport cu o curbă nedegenerată de ordinul doi  este mulțimea de puncte N care sunt conjugate armonic cu punctul P în raport cu punctele M 1 și M 2 ale intersecției de ordinul doi. curba prin secante care trec prin punctul P [1] .

Polarul este o linie dreaptă. Punctul P se numește polul polarului. Orice linie nedegenerată de ordinul 2 definește o bijecție de puncte ale planului proiectiv și un set de linii ale acestuia - polaritatea sau transformarea polară .

Proprietăți

• Dacă punctul P se află „în afara” dreptei de ordinul 2 (adică prin punctul P pot fi trase două tangente la linie ), atunci polarul trece prin 2 puncte de contact ale acestei linii de ordinul 2 cu dreptă. linii trasate prin punctul P. De exemplu, în fig. în dreapta este prezentată construcţia polarei punctului P în raport cu cercul roşu sub forma unei coarde albastre NN' . Este prezentată 1 tangentă verde PN la acesta.
• Dacă punctul P se află pe o curbă de ordinul 2, atunci polara este o linie dreaptă tangentă la curba dată în acest punct.
• Polara punctului P trece prin inversarea sa față de curba corespunzătoare. În plus, dacă polarul intersectează această curbă în două puncte, atunci inversarea este punctul de mijloc al unei coarde care se termină în acele puncte. De exemplu, în fig. în dreapta P' este inversarea punctului P în raport cu cercul roșu.
• Polarii tuturor punctelor situate pe o linie dreaptă care trece prin centrul curbei corespunzătoare sunt paralele între ele. În cazul unei parabole, centrul este considerat a fi la infinit, linia trebuie să fie paralelă cu axa ei.
• Dacă polara punctului P trece prin punctul Q , atunci polara punctului Q trece prin punctul P.

Triunghiul polar triliniar

Dacă continuăm laturile unui triunghi cevian a unui punct și luăm punctele lor de intersecție cu laturile corespunzătoare, atunci punctele de intersecție rezultate se vor afla pe o singură dreaptă, numită polara triliniară a punctului inițial.

• Axa ortocentrică  - polar triliniar al ortocentrului
• Polara triliniară a centrului cercului înscris este axa bisectoarelor exterioare .
• Polarii triliniari ai punctelor situate pe conica circumscrisă se intersectează într-un punct (pentru cercul circumscris acesta este punctul Lemoine , pentru elipsa Steiner circumscrisă  este centroidul ) .
• Un triunghi cevian  este un triunghi ale cărui trei vârfuri sunt cele trei baze cevian ale triunghiului original.

Istorie

Termenul „polar” a fost introdus de Gergonne .

Variații și generalizări

Polar (planul polar) unui anumit punct în raport cu o suprafață nedegenerată de ordinul 2 este definit în mod similar.

Conceptul de polar în raport cu o linie de ordinul doi este generalizat la linii de ordinul al n -lea . În acest caz, un punct dat al planului este asociat cu n -1 polari în raport cu linia de ordinul al n -lea . Primul dintre acești polari este o linie de ordinul n -1, al doilea, care este polara unui punct dat față de primul polar, are ordinul n -2 etc. și, în final, ( n -1) a polară este o linie dreaptă.

• Polara triliniară a punctului Y , conjugată izogonal cu punctul X , se numește linia centrală a punctului X.
• Conceptul de linie centrală a punctului X a fost introdus de Clark Kimberling în articolele sale [2] [3] .

Vezi și

• Polari triunghiulari triliniari
• Linia centrală (geometrie)

Note

1. ↑ Savelov A. A. Curbe remarcabile. Tomsk: Kr. banner, 1938
2. ↑ Kimberling, Clark. Puncte centrale și linii centrale în planul unui triunghi  // Revista de matematică  : revistă  . - 1994. - iunie ( vol. 67 , nr. 3 ). - P. 163-187 . - doi : 10.2307/2690608 .
3. ↑ Kimberling, Clark. Centrele de triunghi și triunghiurile centrale  (neopr.) . - Winnipeg, Canada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. - P. 285.

Literatură

• S. Ts. Kharalampiev, Pol și polar în raport cu un cerc ,  Kvant . - 1986. - Nr 7 . - S. 32-34 .
• Efimov N.V., Geometrie superioară , ed. a VI-a, M., 1978;
• Postnikov M. M., Geometrie analitică , M., 1973