Constanta Golomb-Dickman

Constanta Golomb-Dickmann este o constantă matematică care apare în permutări aleatorii și în teoria numerelor , egală cu [1] :

\lambda =0{,}62432998854355087099293638310083724\dots

Numit după Solomon Golomb și Karl Dieckmann . Calculat din toate permutările unui set de elemente, folosind lungimea medie a celui mai lung ciclu de permutare : $n$ $un$

\lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}

Din punctul de vedere al teoriei probabilităților, este asimptota așteptării lungimii celui mai lung ciclu de permutări aleatorii distribuite uniform ale unui set de elemente. $\lambda n$ $n$

În teoria numerelor, constanta apare în legătură cu valoarea medie a celui mai mare divizor prim al unui număr întreg:

\lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=2}^{n}{\frac {\log(P_{1}( k))}{\log(k)))

unde este cel mai mare divizor prim al lui . Astfel, dacă este un întreg zecimal cu -cifre, atunci este asimptota numărului mediu de cifre din cel mai mare divizor prim . $P_{1}(k)$ $k$ $k$ $d$ $\lambda d$ $k$

O altă sursă din teoria numerelor este probabilitatea ca al doilea cel mai mare divizor prim al unui număr să fie mai mic decât rădăcina pătrată a celui mai mare divizor prim , asimptotic egal cu : $n$ $n$ $\lambda$

\lambda =\lim _{n\la \infty }\operatorname {prob} \left\{P_{2}(n)\leqslant {\sqrt {P_{1}(n)))\right\ }

unde este al doilea cel mai mare divizor prim . $P_{2}(n)$ $n$

Există mai multe reprezentări integrale pentru : $\lambda$

\lambda =\int _{0}^{\infty }e^{-t-\operatorname {Ei} _{1}(t)}dt

, unde este funcția exponențială integrală modificată ,

\operatorname {Ei} _{1}(t)

\lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{t+2}}dt

\lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{(t+1)^{2))}dt

, unde este funcția Dieckmann .

\rho (t)

Problema raționalității sau iraționalității constantei este deschisă .

Note

↑ Secvența OEIS A084945 _

Link -uri

Weisstein, Eric W. Golomb-Dickman Constant (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Finch, Steven R. Constante matematice (nedefinite) . - Cambridge University Press , 2003. - S. 284-286. — ISBN 0-521-81805-2 .