Constanta lui Copeland-Erdő

Constanta Copeland-Erdős este un număr real construit ca o concatenare a lui „0,” („numere întregi zero...”) cu o succesiune concatenată de numere prime crescătoare în notație zecimală [1] :

0,235711131719232931374143...

Constanta este irațională ; acest fapt poate fi demonstrat folosind teorema lui Dirichlet asupra numerelor prime în progresie aritmetică sau postulatul lui Bertrand [2] sau teorema lui Ramare (afirmând că orice număr întreg par este suma a cel mult șase numere prime). Acest fapt rezultă şi din faptul că această constantă este un număr normal ; normalitatea constantei în notație zecimală a fost dovedită în 1949 de Arthur Copeland și Pal Erdős .

Orice constantă formată prin concatenarea lui „0”, cu toate numerele prime într-o progresie aritmetică , unde este un număr prim relativ cu numărul și numărul 10, va fi irațională. De exemplu, acestea sunt numere prime care iau forma sau . Conform teoremei lui Dirichlet, o progresie aritmetică conține numere prime pentru orice număr , iar aceste numere prime sunt, de asemenea, în , prin urmare, printre aceste numere prime concatenate va exista orice număr dorit de zerouri consecutive. $dn+a$ $A$ $d$ $4n+1$ $8n+1$ $dn\cdot 10^{m}+a$ $m$ $cd+a$

Constanta Copeland-Erdős poate fi exprimată astfel:

\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}10^{-\left(n+\sum _{k=1}^{n}\lfloor \log _{10} {p_{k}}\retaj \right)}

unde este al treilea număr prim . $p_n$ $n$

Fracția continuă a unui număr este [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …] [3] .

Constante similare

Pentru orice sistem de numere poziționale cu număr de bază: $b$

\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b^{-p_{n))

care poate fi scrisă în acest sistem de numere ca 0.0110101000101000101…, unde a-a cifră este 1, dacă este un număr prim, este irațional [4] . $n$ $n$

Constanta lui Champernowne este concatenarea tuturor numerelor întregi pozitive, nu doar a numerelor prime.

Note

↑ Secvența OEIS A033308 _
↑ Hardy, Wright, 1938 , p. 113.
↑ A030168
↑ Hardy, Wright, 1938 , p. 112.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Copeland-Erdos Constant (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
GH Hardy , EM Wright. O introducere în teoria numerelor. — Ed. a 5-a. . - Oxford University Press , 1938. - ISBN 0-19-853171-0 .