Flux (teoria măsurării geometrice)

Un flux este o generalizare a conceptului de subvarietate care joacă un rol cheie în teoria măsurării geometrice . În special, fluxurile sunt de obicei folosite pentru a demonstra existența unor suprafețe minime cu singularități.

Fluxurile sunt definite ca funcții generalizate - un flux este o funcțională liniară pe spațiul formelor diferențiale .

Definiție

Se notează prin spațiul formelor netede cu suport compact pe un colector neted . Un flux este definit ca o funcțională liniară pe o continuă în sensul distribuțiilor . Adică funcțional liniar $\Omega _{c}^{m}(M)$ $m$ $M$ $\Omega _{c}^{m}(M)$

T\colon \Omega _{c}^{m}(M)\to \mathbb {R}

este un -flux dacă, pentru orice succesiune de forme netede ai căror purtători de forfecare se află într-o mulțime compactă, convergând la forma zero în avem $m$ $\omega_{k}$ $C^\infty$

T(\omega _{k})\la 0

Note

Spațiul -dimensional curge pe acest spațiu vectorial real . ${\mathcal {D}}_{m}(M)$ $m$ $M$

Multe proprietăți ale funcțiilor generice sunt transferate în fluxuri. De exemplu, se poate defini un purtător de flux ca complement al unui set maxim deschis astfel încât $T$ $U\subset M$ $T(\omega )=0$ pentru orice formă . $\omega \in \Omega _{c}^{m}(U)$
- Spațiul fluxurilor -dimensionale cu suport compact este de obicei notat cu . $m$ ${\mathcal {E}}_{m}(M)$

Spațiul fluxurilor este natural dotat cu o topologie slabă. $T_{k}\la T\quad \iff \quad T_{k}(\omega )\la T(\omega),\qquad \forall \omega .\,$

Norme

Este posibil să se definească mai multe norme pe un subspațiu al spațiului tuturor fluxurilor. Una dintre aceste norme este masa .

\mathbf {M} (T):=\sup\{T(\omega)\colon \sup _{x}|\vert \omega (x)|\vert \leq 1\},

unde este -norma asupra spațiului formelor. $|\vert \omega (x)\vert |$ $L^{\infty }$

Masa unui flux este o generalizare naturală a volumului unei subvariete.

Norma plată, definită ca

\mathbf {F} (T):=\inf\{\mathbf {M} (T-\partial A)+\mathbf {M} (A)\colon A\in {\mathcal {E)} _{m+1}\}.

Literatură

Federer G. Teoria măsurii geometrice. - 1987. - 760 p.