Regula Keynes-Ramsey

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 9 mai 2021; verificările necesită 3 modificări .

Regula Keynes-Ramsey este regula comportamentului optim al consumatorului în problema alegerii intertemporale . Regula descrie traiectoria optimă a consumului în timp pentru un anumit nivel de venit, rata dobânzii la economii și rata subiectivă de actualizare [1] .

Regula Keynes-Ramsey se referă la nivelurile optime de consum în două perioade de timp adiacente. Prin urmare, descrie traiectorii optime ale comportamentului consumatorului în modelele macroeconomice dinamice.

Din punct de vedere matematic, regula Keynes-Ramsey este o condiție de optimitate necesară pentru o problemă de control optim . Este cunoscută și sub numele de ecuația Euler-Lagrange [2] .

Istorie

Regula Keynes-Ramsey este numită după Frank Ramsey și mentorul său John Maynard Keynes . Regula a fost obținută de Ramsey în 1928 ca urmare a rezolvării modelului optim de economii. Ulterior, acest model a fost dezvoltat în teoria creșterii economice și este acum cunoscut sub numele de modelul Ramsey-Kass-Kopmans [3] . Keynes a ajutat să ofere o interpretare economică a acestei reguli:

„Economiile ar trebui să fie suficiente pentru a atinge sau pentru a se apropia temporar de punctul de saturație („punct fericit”), dar asta nu înseamnă că trebuie să ne economisim toate veniturile. Cu cât economisim mai mult, cu atât ajungem mai repede la saturație, dar cu atât avem mai puțină bucurie acum, așa că trebuie să alegem între una și alta. Domnul Keynes mi-a arătat că regula care guvernează cantitatea de economii necesară poate fi dedusă imediat din aceste considerente .

Macroeconomia modernă operează cu modele bazate pe micro , în care problema intertemporală a alegerii consumatorului este similară cu problema formulată de Ramsey. Este modalitatea principală de a descrie comportamentul consumatorului, așa că regula Keynes-Ramsey în diferitele sale modificări este un element indispensabil care descrie dinamica în modele.

Formularea matematică a regulii în timp continuu

Regula Keynes-Ramsey este formulată ca următoarea relație între rata de creștere a consumului (pe cap de locuitor) și diferența dintre rata actuală a dobânzii de pe piață și coeficientul preferinței intertemporale:

{\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\theta }}(r_{t}-\rho )

, unde este derivata în timp a consumului pe cap de locuitor, respectiv, este rata de creștere (continuă) a consumului pe cap de locuitor pe unitatea de timp;

{\punct {c}}

{\frac {\dot {c}}{c}}

{\theta}=-{\frac {u''(c)}{u'(c)))c=-{\frac {MU'(c)}{MU(c)))c= -{\frac {dMU/MU}{dc/c}}

- elasticitatea utilităţii marginale în raport cu consumul, luată cu semnul opus ( măsura relativă a aversiunii la risc Arrow-Pratt );

r_{t}

- rata dobânzii rentabilității activelor (se presupune și ea a fi egală cu rata dobânzii la datorie);

\rho

este coeficientul de preferință intertemporal al consumatorului, .

\rho >0,\rho =const

Context și derivare a regulii în timp continuu

În primul rând, modelul presupune că individul mediu maximizează o funcție de utilitate intertemporală de următoarea formă

U=\int _{0}^{{\infty }}u(c_{t})e^{{-\rho t}}dt

, unde este consumul individului în acest moment ; este coeficientul de preferință intertemporal al consumatorului, .

CT}

t

\rho

\rho >0,\rho =const

Maximizarea funcției de utilitate intertemporală se realizează ținând cont de constrângerea bugetară asociată cu venitul individului. Venitul pe unitatea de timp se formează din salarii și venituri din active (economii) la rata dobânzii de pe piață. În consecință, venitul pe unitatea de timp minus consumul reprezintă o creștere a activelor pe unitatea de timp. Astfel, constrângerea bugetară are forma unei ecuații diferențiale pentru active:

{\dot {a}}=r_{t}a_{t}+w-c_{t}

În acest caz, Hamiltonianul problemei de optimizare va fi egal cu

H=u(c_{t})e^{-\rho t}+\lambda _{t}(r_{t}a_{t}+w-c_{t})

Condițiile de optimitate necesare au forma:

{\partial H \over \partial c_{t}}=e^{-\rho t}u'(c_{t})-\lambda _{t}=0

{\dot {\lambda _{t)}}=-{\partial H \over \partial a_{t)}=-\lambda _{t}r_{t)

Prima condiție poate fi reprezentată ca

\ln \lambda _{t}=\ln u'(c_{t})-\rho t

Diferențiând această egalitate în funcție de timp, obținem:

{\dot {\lambda _{t})}/\lambda _{t}=u''(c_{t})/u''(c_{t}){\dot {c_{t} }}-\rho =-\theta {\dot {c_{t}}}/c_{t}-\rho

Ținând cont că, conform celei de-a doua condiții : , obținem în final ${\dot {\lambda _{t)}}/\lambda _{t}=-r_{t)$

{\dot {c_{t})}/c_{t}={1 \over \theta }(r_{t}-\rho )

Acest rezultat nu se va schimba dacă la model se adaugă o rată constantă de creștere a populației și (sau) o variabilă suplimentară de care depinde funcția de utilitate (de obicei „timpul liber” sau oferta de muncă a unui individ).

Derivarea regulilor în timp discret

Problemă cu două perioade

Consumatorul rezolvă problema alegerii intertemporale alegând nivelul optim de consum în fiecare dintre două perioade pentru un anumit nivel de venit în fiecare perioadă. Funcția obiectiv al consumatorului arată astfel: $t=1,2$

U(C_{1},C_{2})=u(C_{1})+\beta u(C_{2})\la \max _{C_{1},C_{2))

unde este functia de utilitate ; — funcția de utilitate instantanee (cu o singură perioadă); - nivelul consumului in prima si a doua perioada; — factor subiectiv de reducere. $U(\cdot )$ $u(\cdot)$ ${\displaystyle C_{1},C_{2))$ $\beta$

Constrângerea bugetară a consumatorului arată astfel:

C_{1}+{\frac {C_{2}}{1+r}}\leq Y_{1}+{\frac {Y_{2}}{1+r}}

unde este nivelul veniturilor în prima și a doua perioadă; - rata dobânzii la economii , acționând ca o rată de actualizare . $Y_{1},Y_{2}$ $r$

Problema este rezolvată prin metoda multiplicatorilor Lagrange nedeterminați . Funcția Lagrange pentru o problemă cu o constrângere:

L=u(C_{1})+\beta u(C_{2})+\lambda {\Bigg (}C_{1}+{\frac {C_{2}){1+r)} -Y_{1}-{\frac {Y_{2}}{1+r}}{\Bigg )}\la \max _{C_{1},C_{2}}

Condiții de optimitate de ordinul întâi (fără a lua în considerare constrângerea bugetară):

u'(C_{1})+\lambda =0

\beta u'(C_{2})+\lambda {\frac {1}{1+r))=0

De aici urmează regula Keynes-Ramsey:

{\frac {u'(C_{1})}{u'(C_{2))}}=\beta (1+r)

Caz general

Problema poate fi generalizată la cazul unui orizont de timp finit sau infinit.

U=\sum _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(C_{t})\la \max _{C_{t))

\sum _{t=0}^{T}{\frac {C_{t}}{(1+r)^{t}}}\leq \sum _{t=0}^{T} {\frac {Y_{t}}{(1+r)^{t}}}

Problema este rezolvată prin metoda multiplicatorilor Lagrange nedeterminați . Funcția Lagrange pentru o problemă cu o constrângere:

L=\sum _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(C_{t})+\lambda {\Bigg (}\sum _{t=0}^{T} {\frac {C_{t}}{(1+r)^{t}}}-\sum _{t=0}^{T}{\frac {Y_{t}}{(1+r)^ {t}}}{\Bigg )}\la \max _{C_{t}}

Condiții de optimitate de ordinul întâi (fără a lua în considerare constrângerea bugetară):

\beta ^{t}u'(C_{t})+\lambda {\frac {1}{(1+r)^{t))}=0,\quad t=0,1,. .,T

Împărțind condițiile pentru momentele vecine de timp, obținem regula Keynes-Ramsey în formă generală:

{\frac {u'(C_{t})}{u'(C_{t+1))}}=\beta (1+r)

Vezi și

Note

↑ Blanchard, Olivier Jean; Fischer, Stanley . Prelegeri de Macroeconomie (nedefinite) . - Cambridge: MIT Press , 1989. - pp. 41-43. - ISBN 0-262-02283-4 .
↑ Intriligator, Michael D. Optimizare matematică și teorie economică . - Englewood Cliffs: Prentice-Hall , 1971. - P. 308-311 . — ISBN 0-13-561753-7 .
↑ Ramsey, FP A Mathematical Theory of Saving // Economic Journal : jurnal. - 1928. - Vol. 38 , nr. 152 . - P. 543-559 .
↑ Ramsey (1928 , p. 545)