Baza topologică

Baza unei topologii ( baza unui spațiu topologic, baza unei topologii, baza deschisă ) este o familie de submulțimi deschise ale unui spațiu topologic , astfel încât orice mulțime deschisă din este reprezentabilă ca o uniune de elemente din această familie. $X$ $X$

Adesea baza topologiei este prezentată pentru a introduce topologia. De exemplu, pe un spațiu metric , topologia este definită în termenii bazei formate din toate bilele deschise.

Definiție

O familie de mulțimi deschise ale unui spațiu topologic se numește baza unei topologii (sau spațiu topologic) dacă orice mulțime deschisă din poate fi reprezentată ca o uniune de elemente ale familiei . ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$ ${\mathfrak {B}}$

O familie de multimi deschise intr-un spatiu topologic este o baza daca si numai daca pentru fiecare punct din spatiu si vecinatatea acestuia exista o multime din asa ca . ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$ $X$ $U$ $V$ ${\mathfrak {B}}$ $x\în V\subset U$

Greutatea unui spațiu topologic

Cardinalitatea minimă a tuturor bazelor spațiului se numește ponderea spațiului topologic . Greutatea spațiului este de obicei notă cu . $X$ $X$ $X$ $w(X)$

Proprietăți

Pentru fiecare bază , există o submulțime , care este baza și are cardinalitatea egală cu greutatea spațiului. ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}_{0}$
Dacă greutatea spațiului nu este mai mare decât numărabilă (adică are o bază numărabilă), atunci se numește spațiu cu a doua axiomă a numărabilității . $X$ $X$ $X$
Există o putere densă peste tot în spațiul greutății . $\tau$ $\leqslant \tau$

Variații și generalizări

Baza locală a spațiului într-un punct (baza punctului ) este o familie de vecinătăți ale punctului cu următoarea proprietate: pentru orice vecinătate a punctului , există un element astfel încât . $X$ $x\în X$ $X$ $\mathfrak{B}(x)$ $X$ $Bou$ $X$ $V \in \mathfrak{B}(x)$ $x \in V \subset O_x$
- Cardinalitatea minimă a tuturor bazelor locale ale spațiului dintr-un punct se numește caracterul spațiului din punct și se notează cu . $X$ $x\în X$ $X$ $X$ $\chi (x,X)$
- Supremul caracterelor spațiului în toate punctele se numește caracterul spațiului și este notat cu . $X$ $x\în X$ $X$ $\chi (X)$
- Spațiile care au o bază locală numărabilă în fiecare punct sunt numite spații cu prima axiomă a numărabilității .
- O familie de mulțimi deschise în X este o bază dacă și numai dacă, pentru fiecare punct , subfamilia tuturor elementelor care conțin punctul este baza locală a punctului . ${\mathfrak {B}}$ $x\în X$ $\mathfrak{B}(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$
Un sistem de vecinătate este o familie care este baza locală a spațiului într-un punct pentru fiecare . $\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}$ $\mathfrak{B}(x)$ $X$ $X$ $x\în X$
O prebază este o familie de submulțimi deschise ale unui spațiu topologic astfel încât mulțimea tuturor mulțimilor care sunt intersecția unui număr finit de elemente formează baza spațiului . $Y$ $X$ $Y$ $X$
O bază închisă este o familie de toate completările la elementele unei baze.
$\pi$ -bază ( bază latice ) este o familie de submulțimi deschise nevide ale spațiului, astfel încât orice mulțime nevidă deschisă la conține o mulțime de , adică Hausdorff dens în spațiu . Orice bază este o bază. Reversul nu este adevărat, de exemplu, în compactarea Stone-Cech a mulțimii numerelor naturale, familia de submulțimi de un punct ale mulțimii este o -bază, dar nu este o bază. ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$ $X$ $\pi$ $\beta \mathbb{N}$ $\mathbb {N}$ $\pi$
O pseudobază este o familie de submulțimi deschise astfel încât intersecția tuturor elementelor sale care conțin un punct fix coincide cu acest punct. Există numai în T 1 -spații . Un exemplu de spațiu cu o pseudobază numărabilă care nu are o bază numărabilă este spațiul de secvențe de zerouri și uni cu o topologie discretă (pseudobază este o mulțime formată din toate secvențele cu o valoare fixă într-o anumită poziție).

Definirea unei topologii folosind un sistem de bază, prebază și vecinătate

O familie de submulțimi ale unei mulțimi arbitrare este baza unei topologii pe dacă și numai dacă îndeplinește următoarele condiții: ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$ ${\mathfrak {B}}$

Fiecare punct aparține unui set din familie . $x\în X$ $U$ ${\mathfrak {B}}$
Pentru orice mulţimi şi orice punct , există o mulţime astfel încât . $U,V\in {\mathfrak {B}}$ $x\în U\cap V$ $W\în {\mathfrak {B}}$ $x\în W\subset U\cap V$

În acest caz, este o bază a topologiei pe care mulțimile sunt deschise dacă și numai dacă pot fi reprezentate ca o uniune a unor submulțimi de . O astfel de topologie se numește topologia generată de bază .

{\mathfrak {B}}

X

{\mathfrak {B}}

{\mathfrak {B}}

Pentru ca o familie de submulțimi ale unei mulțimi arbitrare să fie o prebază a unei topologii pe , este necesar și suficient ca condiția de mai sus 1 să fie îndeplinită. În plus, în această topologie sunt deschise acele și numai acele mulțimi care pot fi reprezentate ca o unire a intersecțiilor finite ale unor submulțimi din . O astfel de topologie se numește topologie generată de prebază . Aceasta este cea mai mică topologie care conține familia . ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$

O mulțime de familii de submulțimi ale unei mulțimi arbitrare este un sistem de vecinătăți de o anumită topologie dacă și numai dacă îndeplinește următoarele condiții: $\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}$ $X$ $X$

Pentru fiecare familia nu este goală și pentru orice . $x\în X$ $\mathfrak{B}(x)$ $x\în U$ $U\in {\mathfrak {B}}(x)$
Pentru toată lumea există astfel încât . $y\în U\în {\mathfrak {B}}(x)$ $V\in {\mathfrak {B}}(y)$ $V\subset U$
Pentru orice set , există , astfel încât . $V,W\in {\mathfrak {B}}(x)$ $U\in {\mathfrak {B}}(x)$ $U\subset V\cap W$

În acest caz, este un sistem de vecinătate al topologiei pe , constând din toate submulțimile reprezentabile ca o uniune de subfamilii ale familiei . O astfel de topologie se numește topologia generată de sistemul de vecinătate .

\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}

X

\bigcup _{{x\in X}}{\mathfrak {B}}(x)

\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}

Exemple

Baza oricărui spațiu topologic este familia tuturor mulțimilor sale deschise.
O topologie discretă are ca bază familia tuturor submulțimii sale de un punct .
Dacă și sunt spații topologice cu baze de topologii și , atunci topologia produsului cartezian este dată de baza $X$ $Y$ $\mathfrak{B}_X$ $\mathfrak{B}_Y$ $X\ ori Y$

\mathfrak{B}_{X\time Y} = \{U\time V\,: U\in\mathfrak{B}_X,\,V\in\mathfrak{B}_Y\}

În acest caz, topologia nu va depinde de ce baze ale spațiilor X și Y sunt folosite pentru a o defini. O astfel de topologie se numește topologia (standard) a produsului cartezian al spațiilor topologice .

X\ ori Y

Topologia spațiului numerelor reale este dată de sistemul tuturor intervalelor , care formează baza acestei topologii. În mod similar, topologia unui spațiu este dată de baza barelor deschise , iar această topologie coincide în mod evident cu topologia standard a produsului direct al spațiilor. $\mathbb {R}$ $(a,b)$ ${\R}^n$ $(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times\dots\times(a_n,b_n)$
O topologie ordonată este de obicei definită ca o topologie generată de un set de mulțimi cu intervale deschise.
O topologie metrică este de obicei definită ca o topologie generată de un set de bile deschise date de o anumită metrică .

Vezi și

Teorema Yesenin-Volpin
Axioma legaturii
Partea de jos a bazei

Literatură

Alexandrov PS, Kolmogorov AN Introducere în teoria generală a mulțimilor și funcțiilor. - M.-L., 1948.
Uryson PS Proceedings despre topologie și alte domenii ale matematicii. - V. 1-2. - M.-L., 1951.
Alexandrov P. S., Pasynkov B. A. Introducere în teoria dimensiunii. Introducere în teoria spațiilor topologice și teoria generală a dimensiunii. - M., 1973.
Arkhangelsky A. V., Ponomarev V. I. Fundamentele topologiei generale în probleme și exerciții. - M., 1974.
Bourbaki N. Topologie generală. Structuri de bază / Per. din franceza - M., 1968.
Engelking, R. Topologie generală. — M .: Mir , 1986. — 752 p.
Kelly, J. L. Topologie generală. — M .: Nauka, 1968.

Link -uri

Baza de topologie - articol din Encyclopedia of Mathematics . A. A. Maltsev