Transformarea Hankel

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 13 august 2019; verificările necesită 12 modificări .

În matematică , transformata Hankel a ordinului unei funcții este dată de formula $\nu$ $f(r)$

F_{\nu }(k)=\int \limits _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)r\,dr,

unde este funcţia Bessel a primului fel de ordin şi . Transformarea Hankel inversă a unei funcții este expresia ${\displaystyle J_{\nu ))$ $\nu ,$ $\nu \geqslant -1/2$ $F_{\nu }(k)$

f(r)=\int \limits _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)k\,dk,

care poate fi verificată folosind ortogonalitatea descrisă mai jos.

Transformarea Hankel este o transformare integrală . A fost inventat de Hermann Hankel și este cunoscut și sub denumirea de transformată Bessel-Fourier.

Domeniul de aplicare

Transformarea Hankel a unei funcții este adevărată pentru orice puncte din intervalul la care funcția este continuă sau continuă pe bucăți cu salturi finite și integrala $f(r)$ $(0,\infty )$ $f(r)$

\int \limits _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{1/2}\,dr

finit.

Este, de asemenea, posibilă extinderea acestei definiții (asemănătoare transformării Fourier ) pentru a include unele funcții a căror integrală este infinită (de exemplu, ). $f(r)=r$

Ortogonalitate

Funcțiile Bessel formează o bază ortogonală cu greutatea : $r$

\int \limits _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)r\,dr={\frac {\delta (kk')} {k}}

pentru . $k,k'>0$

Transformarea Hankel a unor funcții

$f(r)$	$F_{0}(k)$
$unu$	$\delta (k)/k$
$r$	$-1/k^{3}$
$r^{3}$	$9/k^{5}$
$r^{m)$	${\frac {2^{m+1}\Gamma (m/2+1)}{k^{m+2}\Gamma (-m/2)))$ pentru m impar , $0$ pentru chiar m .
$e^{iar}$	${\frac {-ia{\sqrt {k^{2}-a^{2)})) {(k^{2}-a^{2})^{2)))$
$e^{a^{2}r^{2}/2}$	${\frac {-e^{k^{2}/2a^{2)}}{a^{2)))$

Vezi și

transformata Fourier

Link -uri

Gaskill, Jack D., „Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics”, John Wiley & Sons, New York, 1978. ISBN 0-471-29288-5 .
Polyanin, A.D. și Manzhirov, A.V., Handbook of Integral Equations , CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4 .

Transformări integrale
Abel transforma Bessel se transformă Transformarea Bushman Transformarea Gegenbauer Transformarea Hilbert Transformarea Kontorovich-Lebedev Transformarea Laplace Transformarea Meyer Transformarea Mehler-Fock Transformarea Mellin Transformarea Nerain Transformarea radonului Stieltjes transforma transformata Fourier Transformarea Hankel Transformarea Hartley