Stieltjes transforma

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 11 noiembrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Transformarea Stieltjes este o transformare integrală , care pentru o funcție are forma: $f(x)$

F(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{x+\tau }}dx,

unde integrarea se realizează de-a lungul semiaxei reale și modificări în planul complex , cu o tăietură de-a lungul semiaxei reale negative. $\tau$

Această transformare este o transformare de convoluție , ea are loc atunci când se repetă transformarea Laplace . Transformarea Stieltjes este, de asemenea, legată de problema momentului pentru un interval semi-infinit și, în consecință, de unele fracții continuate .

Dacă este continuă și limitată la , atunci formula de inversare este validă: $f(x)x^{\frac {1}{2)}$ $(0,\infty )$

f(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {(-1)^{n}}{2\pi }}\left({\frac {e}{n}} \right)^{2n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{2n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}} }F(x)\dreapta),\quad x>0.

Pentru prima dată această transformare a fost luată în considerare de T. I. Stiltjes .

Iterația transformării Laplace

Notăm transformata Laplace directă a funcției (variabilei ) ca o funcție a noii variabile ca $f(x)$ $X$ $s$

{\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}(s)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-sx}f(x)\ ,dx.

Apoi transformarea Laplace repetată (iterată).

{\mathcal {L}}\left\{{\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}(s)\right\}(\tau )=\int _{0 }^{\infty }{\frac {f(x)}{x+\tau }}dx

este transformata Stieltjes (după preluarea integralei peste ). $s$

Prin urmare, multe proprietăți ale transformării Stieltjes pot fi obținute direct din proprietățile transformării Laplace .

Proprietăți de bază și teoreme

Notați transformata Stieltjes a funcției ca $f(x)$

{\mathcal {S}}\left\{f(x)\right\}=F(\tau).

Transformarea inversă corespunzătoare va fi notată astfel:

{\mathcal {S}}^{-1}\left\{F(\tau)\right\}=f(x).

Înmulțiți originalul cu variabila

În concluzie, imaginea originalului înmulțită cu variabilă și produsul dintre variabilă și imagine sunt egale cu o constantă egală cu integrala de-a lungul semiaxei reale pozitive a originalului:

{\mathcal {S}}\left\{xf(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }f(x)dx-\tau F(\tau )

Diferența derivată a imaginilor

{\mathcal {S}}^{-1}\left\{{\frac {F(\tau )-F(\alpha )}{\tau -\alpha }}\right\}=-{ \frac {f(x)}{x+\alpha }},\quad |\operatorname {arg} (\alpha )|<\pi

Diferența derivată a originalelor

{\mathcal {S}}\left\{{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}\right\}={\frac {{\frac {1}{2} }\left(F(ae^{i\pi })+F(ae^{i\pi })\right)-f(a)\ln \left({\frac {\tau }{a))\ dreapta)-F(\tau )}{\tau +a}},\quad a>0

Argument Stretch

Când scalați variabila originală cu un factor, variabila imagine este, de asemenea, scalată cu un factor: $A$ $A$

{\mathcal {S}}\left\{f(ax)\right\}=F(a\tau),\quad a>0

Diferențierea originalului

Suma imaginii derivatei și derivatei imaginii este egală cu o constantă împărțită la variabila imagine, iar această constantă este egală cu valoarea originalului la zero, luată cu semnul opus:

{\mathcal {S}}\left\{f'(x)\right\}=-{\frac {f(0)}{\tau }}-F'(\tau )

Generalizări

Transformă Stieltjes generalizată

F(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{(x+\tau )^{\rho }}}dx.

Transformă Stieltjes integrată

F(\tau )=\int _{+0}^{\infty }K(\tau,x)f(x)dx,

Unde

K(\tau,x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {\ln {\frac {\tau {x)}}{\tau -x)),&\tau \neq x\\{\frac {1}{\tau }},&\tau =x\\\end{matrice}}\right.

Literatură

Enciclopedia matematică Ed. colegiu: I. M. Vinogradov (șef redactor) [și alții] M., „Enciclopedia Sovietică”, 1977-1985.
Bateman G., Erdeyi A. Tables of integral transformations. Volumul 2: Transformări Bessel, integrale ale funcțiilor speciale . — M, Știință, 1970

Transformări integrale
Abel transforma Bessel se transformă Transformarea Bushman Transformarea Gegenbauer Transformarea Hilbert Transformarea Kontorovich-Lebedev Transformarea Laplace Transformarea Meyer Transformarea Mehler-Fock Transformarea Mellin Transformarea Nerain Transformarea radonului Stieltjes transforma transformata Fourier Transformarea Hankel Transformarea Hartley