Transformarea coordonatelor

Transformarea coordonatelor este înlocuirea unui sistem de coordonate pe un plan, în spațiu sau, în cel mai general caz, pe o varietate dimensională dată . $n$

Un exemplu de tranziție de la coordonatele polare la carteziene în planul euclidian : $\{r,\varphi \)$ $\{x,y\)$

{\begin{cases}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \end{cases)}

Cel mai adesea, transformarea coordonatelor este efectuată pentru a trece la un model matematic mai simplu sau mai convenabil pentru analiză . De exemplu, ecuațiile unor curbe plane în coordonate polare sunt mult mai simple decât în cele carteziene, iar pentru a studia corpurile axisimetrice este convenabil să direcționezi una dintre axele de coordonate de-a lungul axei de simetrie.

Definiție

Transformarea coordonatelor este un set de reguli [1] care asociază fiecare set de coordonate dintr-o varietate dimensională cu un alt set de coordonate : $\{x_{1},x_{2}\dots x_{n}\}$ $n$ $\{x_{1}',x_{2}'\dots x_{n}'\}$

{\begin{cases}x_{1}'=x_{1}'(x_{1},x_{2},\dots x_{n})\\x_{2}'=x_{2} „(x_{1},x_{2},\dots x_{n})\\\dots \\x_{n}'=x_{n}'(x_{1},x_{2},\dots x_ {n})\end{cazuri}}

În acest caz, după transformare, trebuie păstrată o corespondență unu-la-unu între punctele varietății și seturile de coordonate (sunt permise excepții pentru unele puncte singulare).

Această transformare poate fi interpretată în două moduri [2] .

Punct de vedere pasiv - are loc o modificare a coordonatelor punctelor varietatii. Toate punctele rămân la locul lor.
Punct de vedere activ - transformarea atribuie fiecărui punct al varietății un alt punct. Sistemul de coordonate nu se modifică.

Exemplu pentru planul euclidian :

{\begin{cases}x'=x+1\\y'=y\end{cases))

Această transformare poate fi interpretată într-unul din două moduri.

Modificarea sistemului de coordonate care mărește abscisa tuturor punctelor cu 1.
Translați toate punctele planului cu 1 paralel cu axa $X.$

Pentru un rezumat al formulelor de transformare de bază pentru sistemele de coordonate de importanță practică, consultați articolul Sistem de coordonate .

Clasificare

În funcție de tipul de formule, toate transformările de coordonate pot fi grupate în diferite clase cu proprietăți tipice comune. Următoarele sunt câteva clase practic importante de transformări care pot fi combinate între ele.

Izometrie - transformări care păstrează toate lungimile. Inclusiv:
- Rotire în jurul unui punct sau a unei axe.
- Transfer paralel .
- Reflecție . Combinația acestor trei tipuri se numește mișcare .
O mapare conformă care păstrează toate unghiurile. Inclusiv:
- Similaritate - unghiurile sunt păstrate, dar toate lungimile sunt înmulțite cu un raport constant de întindere/compresie.
Transformare afină .

De obicei, o clasă distinsă este un grup de transformări în sensul algebrei generale , adică compoziția a două transformări aparține aceleiași clase și pentru fiecare transformare există o inversă. Studiul acestui grup face posibilă evidențierea simetriilor și invariantelor transformărilor.

Invarianți

Un invariant al acestei transformări de coordonate este o funcție de coordonate, ale căror valori nu se modifică după transformare [3] . De exemplu, rotațiile și translațiile nu modifică distanța dintre punctele din spațiul euclidian. Invarianții sunt o caracteristică importantă a unui grup de transformare.

Vezi și

Literatură

Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior. - ed. al 13-lea. — M .: Nauka, 1986. — 544 p.
Korn G., Korn T. Manual de matematică (pentru cercetători și ingineri) . - M . : Nauka, 1973. - 720 p.
Yaglom I. M. Transformări geometrice. Volumele 1, 2. - M .: Gostekhizdat, 1956, 612 p.

Link -uri

Zaslavsky A. A. Geometric transformations Arhivat 4 martie 2016 la Wayback Machine .

Note

↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , p. 362..
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , p. 362-363..
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , p. 363..