Principiul minimei constrângeri

Principiul celei mai mici constrângeri , sau principiul Gauss , constă în faptul că în fiecare moment de timp adevărata mișcare a unui sistem sub acțiunea forțelor active și supus constrângerilor ideale diferă de toate mișcările cinematice posibile realizate din aceeași configurație inițială. și cu aceleași viteze inițiale, prin proprietatea că pentru mișcarea adevărată măsura abaterii de la mișcarea liberă, adică constrângerea, este minimă.

Principiul minimei constrângeri este unul dintre principiile variaționale diferențiale ale mecanicii și a fost propus [1] de K. F. Gauss în 1829 în lucrarea sa „On a New General Law of Mechanics” . Principiul este aplicabil sistemelor mecanice cu constrângeri idealeși formulată de Gauss astfel: „mișcarea unui sistem de puncte materiale, interconectate într-un mod arbitrar și supus oricăror influențe, se produce în fiecare moment în modul cel mai perfect posibil, în conformitate cu mișcarea pe care aceste puncte ar avea-o dacă toate au devenit libere, adică are loc cu cea mai mică constrângere posibilă, dacă, ca măsură de constrângere aplicată într-un moment infinit de mic, luăm suma produselor masei fiecărui punct cu pătratul mărimii abaterii sale. din poziţia pe care ar ocupa-o dacă ar fi liberă” [ 2] .

Formularea lui Gauss a principiului nu a fost suficient de definită. Pentru formularea analitică a acestui principiu a avut o importanță deosebită lucrarea lui G. Scheffler (1820-1903) „Despre legea fundamentală gaussiană a mecanicii” , publicată în 1858 [3] , în care Scheffler a redefinit [4] coerciția . după cum urmează (în notația modernă [5]): ) expresie:

Z\;=\;{\frac {1}{2}}\;{\overset {}{{\overset {N}({\underset {i=1}{\sum ))))))\, m_{{i}}\left({\mathbf {w}}_{{i}}-{\frac {{\mathbf {F}}_{{i}}}{m_{{i}}}} \right)^{{2}}

unde este numărul de puncte incluse în sistem, este masa punctului al treilea, este rezultanta forțelor active aplicate acestuia, este accelerația unui punct dat (de fapt, Scheffler a folosit o formă scalară de notație și nu a avut un factor în fața semnului sumei). După aceea, existența unui minim pentru funcție a devenit expresia matematică a principiului celei mai mici constrângeri . $N$ $m_{{i}}$ $i$ ${\mathbf {F}}_{{i}}$ ${\mathbf {w}}_{{i}}$ $Z$

Motivație

Fie în poziție punctul sistemului mecanic cu masa în momentul de timp . Cu mișcare liberă, un punct va acoperi o distanță într-un interval foarte mic (Fig. 1), unde este viteza punctului în momentul respectiv . Dacă o forță activă acționează asupra punctului, punctul se va deplasa sub influența acestei forțe . Extinderea vectorului deplasare într-o serie în timp, vom avea: $m_{{i}}$ $t_{0}$ $M_{i}$ $\tau$ ${\overline {M_{i}A_{i)}}\,=\,\mathbf {v} _{i}\,\tau$ $\mathbf {v} _{i)$ $t_0$ ${\mathbf {F}}_{{i}}$ ${\overline {M_{i}B_{i)}}$

\mathbf {r} (t_{0}+\tau )\;=\;\mathbf {r} (t_{0})+{\overset {\cdot }{\mathbf {r} }}( t_{0})\,\tau +{\frac {1}{2}}\;{\overset {\cdot \cdot }{\mathbf {r} }}(t_{0})\,\tau ^ {2}+...

Dar

{\overset {\cdot }{\mathbf {r} }}(t_{0})\;=\;\mathbf {v} ,\;\;{\overset {\cdot \cdot }{\ mathbf {r} }}(t_{0})\;=\;{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}

Prin urmare, această deplasare, până la ordinul al treilea mic, va fi egală cu:

{\overline {M_{i}B_{i}}}\;=\;\mathbf {v} _{i}\,\tau +{\frac {1}{2}}\;{\ frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}\,\tau ^{2}

Dacă, pe de altă parte, se impun legături asupra punctului , atunci mișcarea acestuia sub acțiunea unei forțe și în prezența legăturilor va fi, până la ordinul trei mic, egală cu: ${\mathbf {F}}_{{i}}$

{\overline {M_{i}C_{i}}}\;=\;\mathbf {v} _{i}\,\tau +{\frac {1}{2}}\;\mathbf {w} _{i}\,\tau ^{2}

unde este accelerația punctului în mișcarea lui reală. Atunci abaterea punctului de la libera miscare va fi reprezentata de vectorul . Este evident că ${\mathbf {w}}_{{i}}$ ${\overline {B_{i}C_{i)}}$

{\overline {B_{i}C_{i}}}\;=\;{\overline {M_{i}C_{i}}}-{\overline {M_{i}B_{i}} }\;=\;{\frac {1}{2}}\;\tau ^{2}\left(\mathbf {w} _{i}-{\frac {\mathbf {F} _{i} {m_{i}}}\dreapta)

până la ordinul trei mic. Ca măsură a abaterii unui punct de la mișcarea liberă, Gauss a luat o valoare proporțională cu pătratul abaterii , pe care a numit-o constrângere . Forța pentru un punct cu masă are următoarea expresie: ${\overline {B_{i}C_{i)}}$ $m_{{i}}$

Z_{i}\;=\;{\frac {1}{2}}\;m_{i}\left(\mathbf {w} _{i}-{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}}\right)^{2}

Însumând constrângerile pentru toate punctele sistemului, obținem:

Z\;=\;{\frac {1}{2}}\;{\overset {}{{\overset {N}({\underset {i=1}{\sum ))))))\, m_{{i}}\left({\mathbf {w}}_{{i}}-{\frac {{\mathbf {F}}_{{i}}}{m_{{i}}}} \right)^{{2}}

Din definiția dată la începutul articolului rezultă că pentru accelerațiile în mișcare efectivă

\delta \,Z\;=\;0

în plus, variația este luată doar în accelerații, în timp ce coordonatele și vitezele sunt presupuse a fi neschimbate. O variație de acest fel se numește variație Gaussiană .

Semnificația principiului Gauss

Unul dintre primii care a apreciat foarte mult importanța principiului lui Gauss al constrângerii minime a fost remarcabilul matematician și mecanic rus M. V. Ostrogradsky , care a acordat o importanță deosebită abordării lui Gauss de a înțelege conexiunile. În memoriile sale din 1836 „Despre deplasările instantanee ale unui sistem supus condițiilor variabile”, Ostrogradsky a subliniat o astfel de consecință a principiului Gauss: presiunea asupra conexiunilor din punctele sistemului în mișcarea adevărată a sistemului ar trebui să fie minimă în comparație. la alte mișcări fezabile cinematic [6] . În 1878, I. I. Rakhmaninov a dat [7] principiului Gauss o interpretare energetică, reformulându-l ca principiul celei mai puțin pierdute lucrări [8] .

Matematicianul francez J. Bertrand a descris principiul Gauss ca „o teoremă frumoasă care conține simultan legile generale ale echilibrului și mișcării și, aparent, cea mai generală și elegantă expresie pe care le-a fost dată” [9] .

Principiul constrângerii minime are o generalitate foarte mare, deoarece este aplicabil la o mare varietate de sisteme mecanice: conservatoare și neconservative, holonomice și non-holonomice. Prin urmare, în special, este adesea folosit [10] ca punct de plecare pentru derivarea ecuațiilor de mișcare ale sistemelor nonholonomice . În același timp, principiul Gauss este, de asemenea, utilizat în mod direct - în sarcini legate de simularea pe computer a dinamicii sistemelor de corpuri solide (în special, roboți de manipulare ); în acest caz, minimizarea numerică a constrângerii se realizează prin metodele de programare matematică [11] .

Principiul Gauss este generalizat [12] la cazul eliberării sistemului de o parte din constrângeri [13] [14] , precum și la cazul sistemelor constrânse de constrângeri neideale, și la cazul mediilor continue [ 15] .

Vezi și

Bolotov, Evgheni Alexandrovici

Note

↑ Tyulina, 1979 , p. 178.
↑ Gauss K. Despre un nou principiu general al mecanicii : Sat. articole / Ed. L. S. Polak. — M .: Fizmatgiz , 1959. — 932 p. - S. 170-172.
↑ Moiseev, 1961 , p. 334.
↑ Tyulina, 1979 , p. 179-180.
↑ Markeev, 1990 , p. 90.
↑ Moiseev, 1961 , p. 336.
↑ Rakhmaninov I. I. Începutul celei mai puțin pierdute lucrări ca început general al mecanicii // Izv. Universitatea din Kiev . 1878. Nr 4. - S. 1-20.
↑ Markeev, 2000 , p. 38-39.
↑ Pogrebyssky, 1964 , p. 270.
↑ Golubev Yu. F. Fundamentele mecanicii teoretice. - M. : Editura Moscovei. un-ta, 2000. - 719 p. — ISBN 5-211-04244-1 . - S. 427.
↑ Vereshchagin A. F. Principiul Gauss al constrângerii minime în dinamica actuatoarelor robotului // Popov E. P. , Vereshchagin A. F., Zenkevich S. L. Roboti de manipulare: dinamică și algoritmi. — M .: Nauka , 1978. — 400 p. - S. 77-102.
↑ Markeev, 2000 , p. 43.
↑ Bolotov E. A. Pe principiul Gauss // Izv. Fiz.-Matematică. despre-va la Kazan. un-cele. Ser. 2 . 1916. V. 21, Nr. 3. - S. 99-152.
↑ Chetaev N. G. Pe principiul Gauss // Izv. Fiz.-Matematică. despre-va la Kazan. un-cele. Ser. 3 . 1932-1933. T. 6. - S. 68-71.
↑ Rumyantsev V.V. Despre unele principii variaționale în mecanica continuumului // Prikl. matematica. și blană. 1973. T. 37. Problema. 6. - S. 963-973.

Literatură

Principii variaționale ale mecanicii: Sat. articole / Ed. L. S. Polak . — M .: Fizmatgiz , 1959. — 932 p.
Lanczos K. Principii variaţionale ale mecanicii . — M .: Mir , 1965. — 408 p.
Markeev A.P. Pe principiul Gauss // Culegere de articole științifice și metodologice. Mecanica teoretică. Problema. 23. - M . : Editura Moscovei. un-ta, 2000. - 264 p. - S. 29-45.
Markeev A.P. Mecanica teoretică. — M .: Nauka , 1990. — 416 p. — ISBN 5-02-014016-3 .
Moiseev N. D. Eseuri despre istoria dezvoltării mecanicii. - M. : Editura Moscovei. un-ta, 1961. - 478 p.
Pogrebyssky I. B. De la Lagrange la Einstein: mecanica clasică a secolului al XIX-lea. — M .: Nauka , 1964. — 327 p.
Tyulina I. A. Istoria și metodologia mecanicii. - M. : Editura Moscovei. un-ta, 1979. - 282 p.
Tsyganova N. Ya. Principalele etape ale dezvoltării principiului minimei constrângeri // Istoria și metodologia științelor naturale. - M. : MGU, 1979. - Numărul. 9 . - S. 122-134 .