Intervale între numere prime

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 21 martie 2020; verificările necesită 7 modificări .

Intervalele dintre numere prime sunt diferențele dintre două numere prime consecutive . Intervalul n -al, notat cu , este diferența dintre numerele prime ( n + 1)-al-lea și n - lea, adică $g_{n}$

g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.

Avem: . Succesiunea intervalelor dintre numere prime este bine studiată. Uneori se ia în considerare o funcție $g_{1}=1,g_{2}=g_{3}=2,g_{4}=4$ $g_{n}$ $g(p_{n})$ $g_{n}$

Primele 30 de intervale prime sunt după cum urmează:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 secvență A001223 în OEIS .

Observații simple

Pentru orice număr prim P , prin P # vom nota primarul lui P , adică produsul tuturor numerelor prime care nu depășește P . Dacă Q este numărul prim după P , atunci șirul

P\#+2,P\#+3,\dots ,P\#+(Q-1)

este o succesiune de numere compuse consecutive, deci există intervale între numere prime de lungime nu mai mică de . Prin urmare, există intervale arbitrar mari între prime și pentru orice prim P există n astfel încât (Evident, pentru aceasta putem alege n astfel încât să fie cel mai mare număr prim care nu depășește .). O altă modalitate de a vedea că există intervale arbitrar mari între numere prime este utilizarea faptului că mulțimea de numere prime are densitate zero, conform teoremei numerelor prime . $Q-2$ $Q-1$ $g_{n}\geqslant P$ $p_n$ $P\#+2$

De fapt, intervalul dintre numerele prime P poate apărea între numerele prime mult mai mici decât P #. De exemplu, prima secvență de 71 de numere compuse consecutive este între 31398 și 31468, în timp ce 71# este un număr de 27 de cifre .

Deja valoarea medie a intervalelor dintre numere prime crește ca logaritmul natural al lui n .

Pe de altă parte, conjectura gemenă simplă afirmă că pentru infinit de mulți n . $g_{n}=2$

Intervalele prime pot fi estimate de sus și de jos folosind funcția Jacobsthal (secvența A048670 în OEIS ).

Rezultate numerice

Începând cu 16 aprilie 2022, cel mai lung interval cunoscut între numerele de 208095 cifre determinate a fi prime probabile este 7186572 și M = 14,9985. A fost găsit de Michiel Jansen folosind un program creat de JK Andersen. [1] [2]

Începând cu 8 martie 2013, cel mai mare interval cunoscut între 18662 de cifre prime dovedite este de 1113106 lungime și M = 25,90. A fost găsit de P. Cami, M. Jansen și JK Andersen. [4]

Raportul M = g n /ln( p n ) arată de câte ori se deosebește intervalul dat g n de intervalul mediu dintre numerele prime în apropierea numărului prim p n . На 2017 год наибольшее известное значение M =41,93878373 обнаружено для интервала длиной 8350, следующего за 87-значным простым числом 293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227. Этот рекорд найден в процессе распределенных вычислений Gapcoin [5] .

Relația S = g n /ln 2 p n (relația Cramer-Shanks-Granville) este studiată în legătură cu ipoteza lui Cramer care afirmă că . Dacă nu luăm în considerare valorile anormal de mari ale lui S observate pentru atunci cea mai mare valoare cunoscută a lui S = 0,9206386 a fost găsită pentru un interval de lungime 1132 după numărul prim de 16 cifre 1693182318746371. Această înregistrare a fost găsită în 1999 de Bertil Nyman [6] (secvența A111943 în OEIS conține aceasta și toate numerele prime precedente corespunzătoare valorilor de înregistrare ale lui S ). $g_{n}=O(\ln ^{2}p_{n})$ $p_{n}=2,3,7,$ $p_{n}\geq 23$

Vom spune care este intervalul maxim dacă pentru toți . Între primele prime există aproximativ intervale maxime [7] ; vezi și secvența OEIS A005250 . $g_{n}$ $k<n$ $g_{k}<g_{n)$ $n$ $2\ln n$

Primele 82 de intervale maxime ( n nu este dat; vezi OEIS A005669)

1 la 30

#	gn _	p n
unu	unu	2
2	2	3
3	patru	7
patru	6	23
5	opt	89
6	paisprezece	113
7	optsprezece	523
opt	douăzeci	887
9	22	1129
zece	34	1327
unsprezece	36	9551
12	44	15683
13	52	19609
paisprezece	72	31397
cincisprezece	86	155921
16	96	360653
17	112	370261
optsprezece	114	492113
19	118	1349533
douăzeci	132	1357201
21	148	2010733
22	154	4652353
23	180	17051707
24	210	20831323
25	220	47326693
26	222	122164747
27	234	189695659
28	248	191912783
29	250	387096133
treizeci	282	436273009

31 până la 60

#	gn _	p n
31	288	1294268491
32	292	1453168141
33	320	2300942549
34	336	3842610773
35	354	4302407359
36	382	10726904659
37	384	20678048297
38	394	22367084959
39	456	25056082087
40	464	42652618343
41	468	127976334671
42	474	182226896239
43	486	241160624143
44	490	297501075799
45	500	303371455241
46	514	304599508537
47	516	416608695821
48	532	461690510011
49	534	614487453523
cincizeci	540	738832927927
51	582	1346294310749
52	588	1408695493609
53	602	1968188556461
54	652	2614941710599
55	674	7177162611713
56	716	13829048559701
57	766	19581334192423
58	778	42842283925351
59	804	90874329411493
60	806	171231342420521

61 până la 82

#	gn _	p n
61	906	218209405436543
62	916	1189459969825483
63	924	1686994940955803
64	1132	1693182318746371
65	1184	43841547845541059
66	1198	55350776431903243
67	1220	80873624627234849
68	1224	203986478517455989
69	1248	218034721194214273
70	1272	305405826521087869
71	1328	352521223451364323
72	1356	401429925999153707
73	1370	418032645936712127
74	1442	804212830686677669
75	1476	1425172824437699411
76	1488	5733241593241196731
77	1510	6787988999657777797
78	1526	15570628755536096243
79	1530	17678654157568189057
80	1550	18361375334787046697
81	1552	18470057946260698231
82	1572	18571673432051830099
83
84
85
86
87
88
89
90

Cele mai mari intervale ale primelor zece mii

Deja în a doua mie există un interval, lung de 34 de numere, în care nu există numere prime - (1327-1361). Mai mult, acest interval își deține recordul de lungime până la a zecea mie. Numai în a noua mie există un al doilea interval de aceeași lungime - (8467-8501), iar în al zecelea - un interval mai lung (36 de numere) - (9551-9587), care este cel mai lung interval al primelor zece mii . Există și un interval cu o lungime de 32 de numere - (5591-5623).

Alte rezultate

Limite superioare

Postulatul lui Bertrand afirmă că pentru orice k există întotdeauna cel puțin un număr prim între k și 2 k , deci, în special , de unde . $p_{n+1}<2p_{n)$ $g_{n}<p_{n)$

Teorema distribuției numerelor prime spune că „lungimea medie” a intervalelor dintre un prim p și următorul prim este de ordinul . Lungimea reală a intervalului poate fi mai mare sau mai mică decât această valoare. Totuși, din teorema privind distribuția primelor, se poate deduce o limită superioară pentru lungimea intervalelor primelor: pentru oricare există un astfel de N care pentru toți va fi . $\ln p$ $\varepsilon >0$ $n>N$ $g_{n}<\varepsilon p_{n}$

Hoheisel a fost primul care a arătat [8] că există o astfel de constantă $\theta<1$

\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\ln x}

x\la +\infty

de aici rezultă că

g_{n}<p_{n}^{\theta },

pentru n suficient de mare .

Rezultă că intervalele dintre numere prime devin în mod arbitrar mai mici în raport cu numerele prime: coeficientul tinde spre zero pe măsură ce n tinde spre infinit. $\frac{g_n}{p_n}$

Hoheisel a primit o valoare posibilă de 32999/33000 pentru . Această limită a fost îmbunătățită la 249/250 de către Heilbron [9] și la oricare de către Chudakov [10] . $\theta$ $\theta = \frac{3}{4} + \varepsilon$ $\varepsilon >0$

Principala îmbunătățire a fost făcută de Ingham [11] , care a arătat că dacă

\zeta (1/2+it)=O(t^{c})

pentru o constantă în care O este folosită în sensul notației O este mare , atunci $c>0$

\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\ln x}

pentru orice . Aici, ca de obicei, denotă funcția zeta Riemann și denotă funcția de distribuție a numerelor prime care nu depășesc x . Se știe că este permis , de unde orice număr mai mare decât . Din rezultatul lui Ingham rezultă imediat că există întotdeauna un prim între numere și pentru n suficient de mare . Rețineți că conjectura Lindelöf nu a fost încă dovedită , care afirmă că orice număr pozitiv poate fi ales ca c , dar rezultă din aceasta că există întotdeauna un număr prim între și pentru n suficient de mare (vezi și Conjectura Legendre ). Dacă această presupunere este corectă, atunci este posibil să fie necesară o presupunere și mai riguroasă a lui Cramer . Una dintre aproximările realizate la conjectura lui Legendre este faptul dovedit că . [12] $\theta > \frac{1+4c}{2+4c}$ $\zeta$ $\pi(x)$ $c > \frac{1}{6}$ $\theta$ $\frac{5}{8}$ $n^3$ $(n+1)^3$ $n^{2}$ $(n+1)^2$ $g(p_{n})=O({p_{n))^{\frac {21}{40)})$

Martin Huxley a arătat că se poate alege [13] . $\theta = \frac{7}{12}$

Ultimul rezultat se datorează lui Backer, Harman și Pinz , care au arătat că se poate lua 0,525. [12] $\theta$

În 2005, Daniel Goldston , Janos Pinc și Cem Yildirim au demonstrat asta

\liminf_{n\to+\infty}\frac{g_n}{\ln p_n}=0

iar mai târziu a îmbunătățit acest [14] la

\liminf _{n\to +\infty }{\frac {g_{n}}({\sqrt {\ln p_{n}}}(\ln \ln p_{n})^{2} }}<\infty

În 2013 , Zhang Yitang a trimis un articol care dovedește că [15]

\liminf _{n\la +\infty }g_{n}<70\,000\,000.

Acest rezultat a fost îmbunătățit în mod repetat până la

\liminf _{n\la +\infty }g_{n}<247.

În special, de aici rezultă că mulțimea tuturor perechilor de numere prime, a căror diferență nu depășește 246, este infinită [16] [17] .

Limite inferioare

Robert Rankin a demonstrat că există o constantă astfel încât inegalitatea $c>0$

g_{n}>{\frac {c\cdot \ln n\cdot \ln \ln n\cdot \ln \ln \ln \ln n}{(\ln \ln \ln n)^{2 }}}

persistă pentru infinit de valori ale lui n . Cea mai cunoscută valoare pentru c până acum este , unde este constanta Euler-Mascheroni . [18] Paul Erdős a oferit un premiu de 5.000 USD pentru a demonstra sau a infirmat faptul că constanta c în inegalitatea de mai sus poate fi arbitrar mare. [19] $c=2e^{\gamma }$ $\gamma$

Ipoteze despre intervalele dintre numere prime

Rezultate chiar mai bune sunt posibile aici decât cele care pot fi obținute prin asumarea adevărului ipotezei Riemann . Harald Cramer a demonstrat că dacă ipoteza Riemann este adevărată, atunci intervalele satisfac relația $g(p_{n})$

g(p_n) = O(\sqrt{p_n} \ln p_n),

(aici se folosește notația O mare ). Mai târziu a sugerat că intervalele cresc mult mai puțin. În linii mari, el a presupus asta

g(p_{n})=O(\ln ^{2}p_{n}).

În acest moment, acest lucru este indicat de calcule numerice. Consultați Ipoteza lui Cramer pentru mai multe detalii .

Ipoteza Andrica afirmă că

g(p_n) < 2\sqrt{p_n} + 1.

Aceasta este o întărire slabă a conjecturii Legendre , care afirmă că există cel puțin un număr prim între orice pereche de pătrate de numere naturale.

Intervalele dintre numere prime ca funcție aritmetică

Intervalul dintre al n -lea și ( n + 1) al-lea prim este un exemplu de funcție aritmetică . În acest context, este de obicei notat și numit diferența dintre numere prime [19] . Diferența dintre numere prime nu este nici o funcție aritmetică multiplicativă , nici aditivă . $g_{n}$ $d_{n}$

Vezi și

Note

↑ Anunțul MJansen la Mersenneforum.org . Mersenneforum.org (16 aprilie 2022). Arhivat din original pe 29 septembrie 2022. (nedefinit)
↑ mart_r Anunț de verificare la Mersenneforum.org . Mersenneforum.org (14 iulie 2022). Arhivat din original pe 27 iulie 2022. (nedefinit)
↑ Andersen, Jens Kruse Un megagap cu merit 25,9 . primerecords.dk (8 martie 2013). Preluat la 29 septembrie 2022. Arhivat din original la 25 decembrie 2019. (nedefinit)
↑ Frumos, TR, New prime gap of maximum known merit . Preluat la 6 iunie 2020. Arhivat din original la 30 aprilie 2021. (nedefinit)
↑ Frumos, TR, Primele lacune de apariție . Preluat la 6 iunie 2020. Arhivat din original pe 11 decembrie 2019. (nedefinit)
↑ Kourbatov, A. La al n - lea decalaj de înregistrare între numere prime într-o progresie aritmetică (engleză) // Int. Matematică. Forum: jurnal. - 2018. - Vol. 13 , nr. 2 . - P. 65-78 . - doi : 10.12988/imf.2018.712103 . - arXiv : 1709.05508 .
↑ Hoheisel, G. Primzahlprobleme in der Analysis (neopr.) // Sitzunsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. - 1930. - T. 33 . - S. 3-11 .
↑ Heilbronn, HA Uber den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel // Mathematische Zeitschrift : jurnal. - 1933. - Vol. 36 , nr. 1 . - P. 394-423 . - doi : 10.1007/BF01188631 .
↑ Tchudakoff, NG Despre diferența dintre două numere prime învecinate // Math . Sb. : jurnal. - 1936. - Vol. 1 . - P. 799-814 .
↑ Ingham, AE Despre diferența dintre numerele prime consecutive // Quarterly Journal of Mathematics : jurnal. - 1937. - Vol. 8 , nr. 1 . - P. 255-266 . doi : 10.1093 / qmath/os-8.1.255 .
↑ 1 2 Baker, R. C.; Harman, G.; Pintz, G.; Pintz, J. Diferența dintre numerele prime consecutive, II (nedefinite) // Proceedings of the London Mathematical Society. - 2001. - T. 83 , nr 3 . - S. 532-562 . - doi : 10.1112/plms/83.3.532 .
↑ Huxley, MN On the Difference between Consecutive Primes // Inventiones Mathematicae : journal . - 1972. - Vol. 15 , nr. 2 . - P. 164-170 . - doi : 10.1007/BF01418933 .
↑ arXiv : 0710.2728
↑ Zhang, Yitang. Lacune delimitate între numere prime (engleză) // Analele matematicii : jurnal. — Universitatea Princeton și Institutul pentru Studii Avansate.
↑ Lacune delimitate între numere prime . erudit. Preluat la 21 iulie 2013. Arhivat din original la 28 februarie 2020. (nedefinit) >
↑ D.H.J. Polymath. Variante ale site-ului Selberg și intervale mărginite care conțin multe numere prime // Research in the Mathematical Sciences : journal. - 2014. - Vol. 1 . - doi : 10.1186/s40687-014-0012-7 . - arXiv : 1407,4897 .
↑ Pintz, J. Lacune foarte mari între numere prime consecutive // J. Teoria numerelor : jurnal. - 1997. - Vol. 63 , nr. 2 . - P. 286-301 . - doi : 10.1006/jnth.1997.2081 .
↑ 12 Guy , RKProbleme nerezolvate în teoria numerelor (neopr.) . - Al treilea. - New York: Springer, 2004. - P. 31. - ISBN 0387208607 .

Link -uri

Thomas R. Frumos , unele rezultate ale cercetării computaționale în numere prime - Teoria numerelor computaționale . Acest site web de referință include o listă a tuturor primelor lacune de apariție cunoscute.
Weisstein, Eric W. Prime Difference Function (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3143
Chris Caldwell , Gaps Between Primes