Logaritmul natural

Logaritmul natural este logaritmul la baza e , unde este o constantă irațională de aproximativ 2,72. Se notează ca , sau uneori pur și simplu dacă baza este subînțeles [1] . De obicei, numărul sub semnul logaritmului este real , dar acest concept poate fi extins la numere complexe . $e$ $\ln x$ $\log _{e}x$ $\log x$ $e$ $X$

Din definiție rezultă că dependența logaritmică este o funcție inversă pentru exponentul , deci graficele lor sunt simetrice față de bisectoarea primului și al treilea cadran (vezi figura din dreapta). La fel ca și exponențiala, funcția logaritmică aparține categoriei funcțiilor transcendentale . $y=e^{x)$

Logaritmii naturali sunt utili pentru rezolvarea ecuațiilor algebrice , în care necunoscutul este prezent ca exponent, sunt indispensabili în calcul . De exemplu, logaritmii sunt utilizați pentru a găsi constanta de dezintegrare pentru un timp de înjumătățire cunoscut al unei substanțe radioactive . Ele joacă un rol important în multe domenii ale matematicii și științelor aplicate, sunt utilizate în domeniul finanțelor pentru a rezolva diverse probleme (de exemplu, găsirea dobânzii compuse ).

Definiție

Logaritmul natural al unui număr este exponentul la care trebuie ridicat e pentru a obține . Cu alte cuvinte, logaritmul natural este soluția ecuației $A$ $A$ $\ln a$ $X$ $e^{x}=a.$

Exemple:

\ln e=1

deoarece ;

e^{1}=e

\ln 1=0

, pentru că .

e^{0}=1

Logaritm natural real

Logaritmul natural pentru un număr real este definit și unic pentru orice număr pozitiv $\ln a$ $A$ $A.$

Logaritmul natural poate fi definit geometric pentru orice număr real pozitiv a ca aria de sub curbă în intervalul . Simplitatea acestei definiții, care este în concordanță cu multe alte formule care folosesc acest logaritm, explică originea numelui „natural”. $y={\frac {1}{x}}$ $[1;a]$

Proprietăți

Din definiția logaritmului rezultă identitatea logaritmică de bază [2] :

e^{\ln a}=a

Iată un rezumat al formulelor, presupunând că toate valorile sunt pozitive [3] :

	Formulă	Exemplu
Muncă	$\ln(xy)=\ln x+\ln y$	$\ln(4\cdot 3)=\ln 4+\ln 3$
Privat	$\ln \left({\frac {x}{y)}\right)=\ln x-\ln y$	$\ln \left({\frac {1}{e^{2}}}\right)=\ln(1)-\ln(e^{2})=0-2=-2$
grad	$\ln(x^{p})=p\ln x$	$\ln(64)=\ln(2^{6})=6\ln 2$
Rădăcină	$\ln {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\ln x}{p}}$	$\ln {\sqrt {10}}={\frac {1}{2}}\ln 10$

Alte proprietăți:

Egalitatea a doi logaritmi reali implică egalitatea expresiilor logaritmice.
Pe măsură ce argumentul crește, la fel crește și logaritmul: dacă atunci $0<x<y,$ $\ln x<\ln y.$
${\frac {h}{1+h}}\leqslant \ln(1+h)\leqslant h,$ dacă $h>-1.$

Conexiune cu logaritmi într-o bază diferită

Logaritmul poate fi definit pentru orice bază pozitivă, alta decât , nu doar pentru , dar logaritmii pentru alte baze diferă de logaritmul natural doar printr-un factor constant. $unu$ $e$

Logaritmul de bază poate fi convertit [4] în logaritmul natural și invers: $\log _{a}b$ $A$

\ln b={\frac {\log _{a}b}{\log _{a}e))=\log _{a}b\cdot \ln a

\log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a)}

Relația dintre zecimalele ( ) și logaritmii naturali [5] : $\lgx$

\ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\quad \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x

Relația dintre logaritmii binari ( ) și naturali: $\operatorname {lb} x$

\ln x\aprox 0,693147\operatorname {lb} x;\quad \operatorname {lb} x\aprox 1{,}442695\ln x

Funcție logaritmică

Dacă considerăm un număr logaritmic ca o variabilă, obținem o funcție logaritmică . Este definit la . Interval de valori: . Această curbă este adesea numită logaritm [6] . Din formula de schimbare a bazei logaritmului se poate observa că graficele funcţiilor logaritmice cu baze diferite mai mari decât una diferă între ele doar prin scara de-a lungul axei ; graficele pentru baze mai mici de unu sunt imaginea lor în oglindă în jurul axei orizontale. $y=\ln x$ $x>0$ $E(y)=(-\infty ;+\infty )$ $y$

Funcția este strict crescătoare, este continuă și diferențiabilă nelimitat peste tot în domeniul său de definiție.

Axa y ( ) este asimptota verticală deoarece: $x=0$

\lim _{x\to 0+}\ln x=-\infty

Derivata funcției logaritmice naturale este:

{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}

Simplitatea acestei formule este unul dintre motivele pentru utilizarea pe scară largă a logaritmului natural în analiză și în rezolvarea ecuațiilor diferențiale .

După ce am integrat formula pentru derivată în intervalul de la până la , obținem: $x=1$ $x=b$

\ln b=\int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}

Cu alte cuvinte, logaritmul natural este egal cu aria de sub hiperbolă pentru intervalul specificat . $\ln {b)$ $y={\frac {1}{x}}$ $[1,b]$

Din punctul de vedere al algebrei generale , funcția logaritmică implementează izomorfismul (singurul posibil) dintre grupul multiplicativ al numerelor reale pozitive și grupul aditiv al tuturor numerelor reale. Cu alte cuvinte, funcția logaritmică este singura soluție continuă (definită pentru toate valorile pozitive ale argumentului) a ecuației funcționale [7] :

f(xy)=f(x)+f(y)

Proprietățile analitice ale funcției

Din formula pentru derivata logaritmului natural, rezultă că antiderivată pentru o hiperbolă are forma: $y=1/x$

\int {dx \over x}=\ln |x|+C,

unde este o constantă de integrare arbitrară. Deoarece funcția constă din două ramuri (una pentru pozitiv, cealaltă pentru negativ ), familia de antiderivate pentru este formată și din două subfamilii, iar constantele lor de integrare sunt independente una de cealaltă. $C$ $y=1/x$ $X$ $y=1/x$

Integrala nedefinită a logaritmului natural este ușor de găsit prin integrare pe părți :

\int {\ln x\,\mathrm {d} x}=x\ln x-x+C

În analiza matematică și teoria ecuațiilor diferențiale , conceptul de derivată logaritmică a unei funcții joacă un rol important : $f(x)$

{\frac {d}{dx}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)))

Metode de calcul a logaritmului

Extindem logaritmul natural într- o serie Taylor aproape de unitate:

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}} {4}}+\puncte

(Rândul 1)

Această serie, numită „ seria Mercator ”, converge la . În special: $-1<x\leqslant 1$

\ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\puncte

Formula seriei 1 este nepotrivită pentru calculul practic al logaritmilor datorită faptului că seria converge foarte lent și numai într-un interval îngust. Cu toate acestea, nu este dificil să obțineți din aceasta o formulă mai convenabilă:

\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{ 5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\puncte \right)

(Rândul 2)

Această serie converge mai repede și, în plus, partea stângă a formulei poate exprima acum logaritmul oricărui număr pozitiv , deoarece atunci valoarea absolută este mai mică de unu. Acest algoritm este deja potrivit pentru calculele numerice reale ale valorilor logaritmului, cu toate acestea, nu este cel mai bun din punct de vedere al intensității muncii. $z={\frac {1+x}{1-x}}$ $x={\frac {z-1}{z+1)}$

Pentru calcularea logaritmului natural cu multe cifre de precizie, seria Taylor nu este eficientă deoarece convergența sa este lentă. O alternativă este să folosiți metoda lui Newton pentru a inversa într-o funcție exponențială, a cărei serie converge mai repede.

O alternativă pentru o precizie foarte mare de calcul este formula: [8] [9] :

\ln x\aprox {\frac {\pi }{2M(1,4/s)))-m\ln 2

unde denotă media aritmetică-geometrică a 1 și 4/s, și $M$

s=x\,2^{m}>2^{{p/2}},

m este ales astfel încât să se obțină p cifre de precizie. (În majoritatea cazurilor, o valoare de 8 pentru m este suficientă.) Într-adevăr, dacă se folosește această metodă, inversarea lui Newton a logaritmului natural poate fi aplicată pentru a calcula eficient funcția exponențială. Constantele ln 2 și pi pot fi precalculate cu precizia dorită folosind oricare dintre seriile cunoscute rapid convergente.

Complexitatea de calcul a logaritmilor naturali (folosind media aritmetico-geometrică) este O( M ( n ) ln n ). Aici n este numărul de cifre de precizie pentru care trebuie evaluat logaritmul natural, iar M ( n ) este complexitatea de calcul a înmulțirii a două numere de n cifre.

Limite utile

Iată câteva limite utile legate de logaritmi [10] :

\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1

\lim _{x\to 0+}x^{b}\ln x=0\quad (b>0)

\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x^{b)}}=0\quad (b>0)

\ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left( 1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\dreapta)

\ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}

Transcendenta

Din teorema Lindemann-Weierstrass (1885) rezultă următorul corolar: dacă argumentul este un număr algebric altul decât unul, atunci valoarea nu este doar un număr irațional , ci și un număr transcendental [11] . $X$ $\ln x$

Fracții continuate

Deși nu există fracții continuate clasice care să reprezinte logaritmul , pot fi utilizate mai multe „fracții continuate generalizate”, inclusiv:

\ln(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3} }{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\dots ={\cfrac {x}{1-0\ cdot x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1\cdot x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+ {\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots )))))))))))))

\ln \left(1+{\frac {2x}{y}}\right)={\cfrac {2x}{y+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{3y+{ \cfrac {2x}{1+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{1+\ddots )))))))))))))={\cfrac {2x}{y+ x -{\cfrac {(1x)^{2}}{3(y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(y+x)-{\cfrac {(3x)^ { 2}}{7(y+x)-\ddots }}}}}}}}

Istorie

Pentru prima dată, logaritmii naturali în sensul modern au apărut în 1619, când profesorul de matematică londonez John Speidel a republicat tabelele logaritmice ale lui Napier, corectate și completate astfel încât acestea să devină de fapt tabele de logaritmi naturali [12] . În 1649, matematicianul belgian Grégoire de Saint-Vincent a arătat că aria sub o hiperbolă variază conform unei legi logaritmice și a sugerat numirea acestui tip de logaritm „hiperbolic” [13] . $y={\frac {1}{x}}$

Termenul „logaritm natural” a fost introdus de Pietro Mengoli (1659) și Nicholas Mercator în lucrarea fundamentală „Logarithmotechnia” (1668) [14] [15] . În același loc, Mercator a descris extinderea logaritmului natural în „ seria Mercator ”.

Primele încercări de a extinde logaritmii la numere complexe au fost făcute la începutul secolelor XVII-XVIII de către Leibniz și Johann Bernoulli , dar nu au reușit să creeze o teorie holistică, în primul rând din cauza faptului că conceptul de logaritm în sine nu era încă clar. definit [16] . Discuția pe acest subiect a avut loc mai întâi între Leibniz și Bernoulli, iar la mijlocul secolului al XVIII-lea între d'Alembert și Euler . Bernoulli și D'Alembert credeau că ar trebui definit , în timp ce Leibniz a susținut că logaritmul unui număr negativ este un număr imaginar [16] . Teoria completă a logaritmilor numerelor negative și complexe a fost publicată de Euler în 1747-1751 și în esență nu diferă de cea modernă [17] . $\log(-x)=\log(x)$

Logaritmi complexe

Logaritmul complex este o funcție analitică obținută prin extinderea logaritmului real la întregul plan complex (cu excepția zero). Spre deosebire de cazul real, funcția de logaritm complex este multivalorică .

Definiție . Logaritmul natural al unui număr complex este [6] o soluție a ecuației $\mathrm {Ln} \,z$ $z$ $w$ $e^{w}=z.$

Un număr diferit de zero poate fi exprimat în formă exponențială: $z$

z=r\cdot e^{{i(\varphi +2\pi k)}}\;\;,

unde este un întreg arbitrar

k

Apoi se găsește prin formula [18] : $\mathrm {Ln} \,z$

\mathrm {Ln} \,z=\ln r+i\left(\varphi +2\pi k\right)

Iată logaritmul real. Din aceasta rezultă: $\ln \,r=\ln \,|z|$

Logaritmul complex există pentru orice , iar partea sa reală este determinată în mod unic, în timp ce partea imaginară are un număr infinit de valori care diferă printr-un multiplu întreg. $\mathrm {Ln} \,z$ $z\neq 0$ $2\pi .$

Din formula se poate observa că una și numai una dintre valori are o parte imaginară în interval . Această valoare se numește valoarea principală a logaritmului natural complex [6] . Funcția corespunzătoare (deja cu o singură valoare) se numește ramura principală a logaritmului și se notează . Dacă este un număr real, atunci valoarea principală a logaritmului său coincide cu logaritmul real obișnuit. $(-\pi ,\pi ]$ $\ln\,z$ $z$

Logaritmul unui număr negativ se găsește prin formula [18] :

\mathrm {Ln} (-x)=\ln x+i\pi (2k+1)\qquad (x>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2\dots )

Exemple:

\ln(1)=0;\;\mathrm {Ln} (1)=2k\pi i

\ln(-1)=i\pi ;\;\mathrm {Ln} (-1)=(2k+1)i\pi

\ln(i)=i{\frac {\pi }{2));\;\mathrm {Ln} (i)=i{\frac {4k+1}{2))\pi

Ar trebui să fiți atenți când convertiți logaritmi complecși, ținând cont de faptul că sunt multivalori și, prin urmare, egalitatea acestor expresii nu rezultă din egalitatea logaritmilor oricărei expresii. Un exemplu de raționament eronat :

i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi

este o greșeală evidentă.

Rețineți că valoarea principală a logaritmului este în stânga, iar valoarea din ramura subiacentă ( ) este în dreapta. Motivul erorii este utilizarea neglijentă a proprietății , care, în general vorbind, în cazul complex implică întregul set infinit de valori ale logaritmului, și nu doar valoarea principală. $k=-1$ $\log _{a}{(b^{p})}=p~\log _{a}b$

Funcții de logaritm natural pe planul complex (ramură principală)
$z=Re(\ln(x+iy))|$
$z=Im(\ln(x+iy))|$
$z=|\ln(x+iy)|$
Suprapunerea celor trei diagrame anterioare

Funcția logaritmului natural al unui număr complex poate fi definită și ca continuarea analitică a logaritmului real la întregul plan complex, cu excepția zero. Lăsați curba să înceapă de la unu, să se termine la z, să nu treacă prin zero și să nu traverseze partea negativă a axei reale. Atunci valoarea principală a logaritmului la punctul final al curbei poate fi determinată prin formula [19] : $\Gamma$ $w$ $\Gamma$

\ln z=\int \limits _{\Gamma }{du \over u}

Unele aplicații

Teoria numerelor

Distribuția numerelor prime respectă asimptotic legi simple [20] :

Numărul de numere prime între 1 și aproximativ egal cu . $n$ ${\frac {n}{\ln n))$
k --lea prim este aproximativ egal cu . $k\ln k$

Analiză matematică

Logaritmii apar adesea la găsirea integralelor și la rezolvarea ecuațiilor diferențiale . Exemple:

\int {\operatorname {tg} x}\,dx=-\ln |\cos x|+C;\quad \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+a} }}=-\ln \ \left|\ x+{\sqrt {x^{2}+a}}\ \right|+C

Teoria probabilității și statistică

În statistică și teoria probabilității, logaritmul este inclus într-un număr de distribuții de probabilitate practic importante. De exemplu, distribuția logaritmică [21] este utilizată în genetică și fizică. Distribuția lognormală apare adesea în situațiile în care valoarea studiată este produsul mai multor variabile aleatoare pozitive independente [22] .

Pentru a estima un parametru necunoscut, metoda maximă de probabilitate și funcția log-probabilitate asociată [23] sunt utilizate pe scară largă .

Fluctuațiile într -o plimbare aleatorie sunt descrise de legea Khinchin-Kolmogorov .

Fractali și dimensiuni

Logaritmii ajută la exprimarea dimensiunii Hausdorff a unui fractal [24] . De exemplu, luăm în considerare triunghiul Sierpinski , care se obține dintr -un triunghi echilateral prin îndepărtarea succesivă a triunghiurilor similare, dimensiunea liniară a fiecăruia dintre ele fiind înjumătățită în fiecare etapă (vezi figura). Dimensiunea rezultatului este determinată de formula:

{\frac {\ln 3}{\ln 2))\aprox 1{,}58

Mecanica si fizica

Principiul Boltzmann în termodinamica statistică este una dintre cele mai importante funcţii ale stării unui sistem termodinamic , care caracterizează gradul de aleatorie a acestuia .

Formula Tsiolkovsky este folosită pentru a calcula viteza unei rachete.

Chimie și chimie fizică

Ecuația Nernst conectează potențialul redox al sistemului cu activitățile substanțelor incluse în ecuația electrochimică, precum și cu potențialele standard de electrozi ale perechilor redox.

Logaritmul este utilizat în definițiile unor cantități precum indicele constantei de autoprotoliză (autoionizarea moleculei) și indicele de hidrogen (aciditatea soluției).

Psihologie și fiziologie

Percepția umană a multor fenomene este bine descrisă de legea logaritmică.

Legea Weber-Fechner este o lege psihofiziologică empirică , care afirmă că intensitatea senzației este proporțională cu logaritmul intensității stimulului [25] - intensitatea sunetului [26] , luminozitatea luminii.

Legea lui Fitts : cu cât se efectuează mișcarea corpului mai departe sau mai precis, cu atât este necesară o corecție mai mare pentru implementarea ei și cu atât se realizează mai multă corecție [27] .

Timpul pentru a lua o decizie în prezența unei alegeri poate fi estimat conform legii lui Hick [28] .

Note

↑ Mortimer, Robert G. Matematică pentru chimie fizică . — al 3-lea. - Academic Press , 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5 . , Extras din pagina 9 Arhivat 24 iunie 2016 la Wayback Machine
↑ Algebra și începutul analizei. Manual pentru clasele 10-11. ediția a XII-a, Moscova: Iluminismul, 2002. pp. 233.
↑ Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară, 1978 , p. 187.
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , p. 34.
↑ Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară, 1978 , p. 189..
↑ 1 2 3 Funcția logaritmică. // Enciclopedie matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 3.
↑ Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral, 1966 , Volumul I, pp. 159-160.
↑ Sasaki T., Kanada Y. Practically fast multiple-precision evaluation of log(x ) // Journal of Information Processing. - 1982. - Vol. 5 , iss. 4 . - P. 247-250 .
↑ Ahrendt, Timm. Calcule rapide ale funcției exponențiale. Note de curs în informatică (neopr.) . - 1999. - T. 1564 . - S. 302-312 . - doi : 10.1007/3-540-49116-3_28 .
↑ Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral, 1966 , Volumul I, p. 164.
↑ Rudio F. La cuadratura cercului (Arhimede, Huygens, Lambert, Legendre). - Ed. al 3-lea. - M. - L. : OGIZ, 1936. - S. 89. - 237 p. - ( Clasici ale științelor naturale ).
↑ Cajori, Florian. O istorie a matematicii, ed. a 5-a (nedefinită) . - Librăria AMS, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024 .
↑ Flashman, Martin. Estimarea integralelor folosind polinoame . Data accesului: 30 iunie 2011. Arhivat din original la 11 februarie 2012. (nedefinit)
↑ Matematica secolului al XVII-lea // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1970. - T. II. - S. 63.
↑ JJ O'Connor și E. F. Robertson. Numărul e . Arhiva MacTutor History of Mathematics (septembrie 2001). Data accesului: 30 iunie 2011. Arhivat din original la 11 februarie 2012. (nedefinit)
↑ 1 2 Istoria matematicii, Volumul III, 1972 , p. 325-328..
↑ Rybnikov K. A. Istoria matematicii. În două volume. - M .: Ed. Universitatea de Stat din Moscova, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231 ..
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , p. 623..
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe, 1967 , p. 45-46, 99-100..
↑ Derbyshire, John. Obsesie simplă. Bernhard Riemann și cea mai mare problemă nerezolvată din matematică. - Astrel, 2010. - 464 p. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
^ Weisstein , Eric W. Log-Series Distribution . lumea matematică. Consultat la 26 aprilie 2012. Arhivat din original pe 11 mai 2012.
↑ Distribuție logaritmic normală // Enciclopedie matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 3.
↑ Metoda maximă de probabilitate // Enciclopedia matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 3.
↑ Ivanov M. G. Mărime și dimensiune // „Potențial”, august 2006.
↑ Golovin S. Yu. WEBER-FECHNER LAW // Dictionary of a Practical Psychologist . Consultat la 17 aprilie 2012. Arhivat din original pe 11 iunie 2013. (nedefinit)
↑ Irina Aldoshina. Fundamentele psihoacusticii // Inginer de sunet. - 1999. - Emisiune. 6 . Arhivat din original pe 24 aprilie 2012.
↑ Legea lui Fitts // Enciclopedia psihologică (link inaccesibil) . Consultat la 17 aprilie 2012. Arhivat din original pe 27 mai 2012. (nedefinit)
↑ Welford, A. T. Fundamentals of skill . - Londra: Methuen, 1968. - P. 61 . - ISBN 978-0-416-03000-6 .

Literatură

Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară . — M .: Nauka, 1978.
- Reeditare: AST, 2003, ISBN 5-17-009554-6 .
Matematica secolului al XVIII-lea // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Korn G., Korn T. Manual de matematică (pentru cercetători și ingineri) . - M . : Nauka, 1973. - 720 p.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe. — M .: Nauka, 1967. — 304 p.
Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - ed. al 6-lea. — M .: Nauka, 1966. — 680 p.

Link -uri

" Demistificarea logaritmului natural Arhivat 26 septembrie 2013 la Wayback Machine " Demistificarea logaritmului natural (ln) | BetterExplained _

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)