Programul model minimal face parte din clasificarea birațională a varietăților algebrice . Scopul său este de a construi cel mai simplu model birațional posibil al oricărei varietăți proiective complexe . Subiectul se bazează pe geometria birațională clasică a suprafețelor studiate de școala italiană și în prezent în studiu activ.
Ideea principală a teoriei este de a simplifica clasificarea birațională a soiurilor prin găsirea în fiecare clasă de echivalență birațională a unui soi „cât mai simplu posibil”. Sensul exact al acestei fraze evoluează odată cu dezvoltarea teoriei în sine. Inițial, pentru suprafețe, aceasta însemna găsirea unei varietăți netede , pentru care orice morfism birațional cu o suprafață netedă este un izomorfism .
În formularea modernă, scopul teoriei este următorul. Să presupunem că ni se oferă o varietate proiectivă , care, din motive de simplitate, se presupune a fi nesingulară. Există două opțiuni:
Întrebarea nesingularității varietăților și dată mai sus este importantă. Pare firesc să sperăm că, dacă începem cu smooth , vom găsi întotdeauna un model minimal sau un spațiu de fibrare Fano în cadrul categoriei de distribuitoare smooth. Cu toate acestea, acest lucru nu este adevărat, așa că devine necesar să se ia în considerare varietăți singulare. Singularitățile emergente se numesc singularități terminale .
Orice curbă algebrică complexă ireductibilă este birațională față de singura curbă proiectivă netedă, deci teoria curbelor este trivială. Cazul de suprafață a fost explorat pentru prima dată de italieni la sfârșitul secolului al XIX-lea și începutul secolului al XX-lea. Teorema de contracție a lui Castelnuovo descrie în esență procesul de construire a unui model minim al oricărei suprafețe netede. Teorema afirmă că orice morfism birațional non-trivial trebuie să contracteze o curbă -1 la un punct neted și invers, orice astfel de curbă poate fi contractată fără probleme. Aici curba −1 este o curbă rațională netedă C cu auto-intersecție C . C = −1. Orice astfel de curbă trebuie să aibă K . C = −1, ceea ce arată că dacă clasa canonică este nef, atunci suprafața nu are curbe −1.
Din teorema lui Castelnuovo rezultă că pentru a construi un model minim pentru o suprafață netedă, pur și simplu contractăm toate curbele -1 de pe suprafață, iar varietatea rezultată Y este fie modelul minim (unic) cu clasa nef K , fie o suprafață reglată ( care este același, ca și spațiul bidimensional al fibrației Fano și este fie un plan proiectiv, fie o suprafață riglată peste o curbă). În cel de-al doilea caz, suprafața birațională cu X nu este unică, deși există o suprafață unică izomorfă cu produsul unei linii proiective și unei curbe.
În dimensiuni mai mari de 2, este implicată o teorie mai puternică. În special, există soiuri netede care nu sunt biraționale pentru nicio varietate netedă cu o clasă nef canonică. Avansul conceptual major al anilor 1970 și începutul anilor 1980, construcția de modele minimale, rămâne posibil cu o descriere atentă a posibilelor singularități ale modelului. (De exemplu, dorim să înțelegem dacă a este o clasă nef, deci trebuie determinat numărul de intersecții. Prin urmare, cel puțin varietățile noastre trebuie să aibă un divizor Cartier pentru un număr pozitiv .)
Primul rezultat cheie este teorema conului lui Mori care descrie structura conului de curbe . Pe scurt, teorema arată că pornind de la , se poate construi prin inducție o succesiune de varietăți , fiecare dintre ele fiind „mai aproape” decât cea anterioară de clasa nef . Cu toate acestea, procesul poate întâmpina dificultăți - la un moment dat, varietatea poate deveni „prea singulară”. O soluție ipotetică a acestei probleme este restructurarea , un tip de intervenție chirurgicală de codimension 2 prin . Nu este clar dacă rearanjarea necesară există sau că procesul se va întrerupe întotdeauna (adică că ajungem la modelul minim într-un număr finit de pași.) Maury [1] a arătat că rearanjamentele există în cazul tridimensional.
Existența unor rearanjamente mai generale ale buștenilor a fost stabilită de Shokurov [2] pentru dimensiunile trei și patru. Ulterior, aceasta a fost generalizată la dimensiuni mai mari de către Birkar , Caschini, Hakon și McKernan , bazându-se pe lucrările anterioare ale lui Shokurov, Hakon și McKernan . Ele au pus, de asemenea, alte probleme, inclusiv generalizarea inelelor canonice logaritmice și existența unor modele minime pentru varietăți logaritmice generale.
Problema spargerii rearanjamentelor buștenilor în spații de dimensiuni superioare rămâne un obiect de cercetare activă.