Școala Italiană de Geometrie Algebrică

În istoria matematicii , expresia școală italiană de geometrie algebrică se referă la munca oamenilor de știință din diferite țări în domeniul geometriei biraționale , în special, la teoria suprafețelor algebrice , timp de mai bine de jumătate de secol (perioada de glorie a fost aproximativ 1885). -1935) . Au fost aproximativ 30 până la 40 de matematicieni de frunte care au contribuit cel mai mult la aceste lucrări, dintre care aproximativ jumătate erau de fapt italieni. Matematicienii romani Guido Castelnuovo , Federigo Henriques și Francesco Severi au fost considerați lideri în această școală , ale cărei lucrări au cuprins descoperiri profunde și au determinat stilul școlii științifice.

Suprafețe algebrice

O atenție deosebită acordată suprafețelor algebrice  - varietăți algebrice de dimensiunea 2 - a fost cauzată de construcția unei teorii geometrice complete a curbelor algebrice (de dimensiunea 1): în jurul anului 1870 s-a constatat că teoria curbelor împreună cu teoria lui Brill-Noether presupune teorema Riemann-Roch și toate rafinările sale (prin divizorul theta al geometriei ).

Clasificarea suprafețelor algebrice a fost o încercare curajoasă și de succes de a repeta clasificarea curbelor în funcție de genul lor g . Ea corespunde unei clasificări brute: g = 0 (linia proiectivă); g = 1 ( curba eliptică ); și g > 1 (" covrig " cu 1-forme holomorfe independente ). În cazul suprafețelor, clasificarea lui Enriquez a fost o împărțire în cinci clase mari similare, dintre care trei erau analogi ale claselor de curbe și încă două - fascicule eliptice și suprafețe K3 , așa cum sunt numite acum - sunt, împreună cu două- soiuri dimensionale abeliene , „teritoriu intermediar”. Această clasificare a adus la viață o serie de idei iconice formulate în limbajul modern al multiplelor complexe de Kunihiko Kodaira în anii 1950 și s-a îmbunătățit pentru a include fenomene apărute în caracterizarea simplă de Oskar Zariski , școala Shafarevich și altele în jurul anului 1960. O versiune a s-a obţinut şi teorema Riemann–Roch pentru suprafeţe.

Probleme în fundații

Unele dintre dovezile obținute în cadrul școlii italiene nu sunt considerate acum satisfăcătoare din cauza dificultăților în fundamentele acestei științe. Așa este, de exemplu, folosirea frecventă de către matematicienii italieni a realizărilor biraționale în dimensiunea a trei suprafețe, care au realizări nesingulare doar în spații proiective de dimensiune superioară . Pentru a ocoli aceste probleme, au fost dezvoltate metode sofisticate de lucru cu sisteme liniare de divizori (de fapt, teoria fasciculelor de linii pentru secțiuni hiperplane ale presupuselor înglobări în spații proiective). Multe tehnici moderne au fost descoperite încă de la început, iar în multe cazuri inteligibilitatea acestor idei a depășit posibilitățile tehnice ale limbajului.

Geometrii

Potrivit Guerragio și Nastasi (p. 9, 2005) Luigi Cremona „este considerat fondatorul școlii italiene de geometrie algebrică”. Ei explică mai târziu că la Torino colaborarea lui D'Ovidio și Corrado Segre „a adus, prin eforturile lor sau ale studenților lor, geometria algebrică italiană la deplina maturitate”. Studentul lui Segre, G. F. Baker a scris (1926, p. 269) că [Corrado Segre] „poate fi numit părintele acelei remarcabile școli italiene care a realizat atât de multe în teoria birațională a mulțimilor algebrice”. Despre aceasta, Brigaglia și Chiliberto (2004) spun: „Segre a condus și a avansat școala de geometrie pe care Luigi Cremona a fondat-o în 1860”. Conform Proiectului de Genealogie Matematică , adevărata fecunditate a școlii a început cu Guido Castelnuovo și Federigo Henriquez . În SUA, mulți dintre studenți au fost crescuți de Oscar Zariski .

Lista matematicienilor școlii italiene include și următorii italieni: Giacomo Albanese , Eugenio Bertini , Campedelli, Oscar Chisini , Michele De Francis , Pasquale del Pezzo , Beniamino Segre , Francesco Severi , Guido Zappa (cu alte contribuții semnificative de la Gino Fano , Rosati, Torelli, Giuseppe Veronese ).

În alte țări, Henry Frederic Baker și Patrick Du Val (Marea Britanie), Arthur Byron Coble (SUA), Georges Humbert și Charles Emile Picard (Franța), Lucien Godot (Belgia), Hermann Schubert și Max Noether , iar mai târziu Erich Köhler ( Germania), Jerome Georg Zeiten (Danemarca), Boleslav Kornelievici Mlodzievsky ( Rusia ).

Acești oameni au lucrat mai mult în geometria algebrică decât în ​​urmărirea geometriei proiective ca geometrie sintetică , care la acea vreme avea o amploare enormă, dar din punct de vedere istoric, o linie de cercetare nepromițătoare.

Apariția topologiei

Noua geometrie algebrică care a moștenit școala italiană a fost, de asemenea, notabilă pentru utilizarea intensivă a topologiei algebrice . Fondatorul acestui trend a fost Henri Poincaré ; în anii 1930 a fost dezvoltat de Lefschetz , Hodge și Todd . Sinteza modernă a adus lucrările lor, precum și școlile lui Henri Cartan , Wei-Liang Zhou și Kunihiko Kodaira , mai aproape de materialul tradițional.

Declinul școlii

În primii ani ai școlii italiene, sub Castelnuovo, standardele de rigoare erau la fel de înalte în ea ca în toate celelalte matematici. Sub Enriquez, a devenit acceptabil să se folosească argumente mai informale, precum „principiul continuității”, afirmând că ceea ce este adevărat până la o anumită limită este adevărat și la această limită - principiu care nu avea nu doar o dovadă riguroasă, dar chiar una satisfăcătoare.formulare. La început acest lucru nu a avut un efect negativ, deoarece intuiția lui Enriquez a fost suficient de subtilă încât afirmațiile sale să fie de fapt adevărate, iar utilizarea unor astfel de considerații i-a permis să prezinte rezultate oarecum speculative despre suprafețele algebrice. Din nefericire, din aproximativ 1930 încoace, sub conducerea lui Severi, standardele de rigoare au devenit și mai estompate, până la punctul în care rezultatele au fost nu doar insuficient fundamentate, ci chiar iremediabil greșite. De exemplu, în 1934 Savery a afirmat că spațiul claselor de echivalență rațională de cicluri de pe o suprafață algebrică este de dimensiuni finite, dar în 1968 Mumford a arătat că acest lucru nu este valabil pentru suprafețele de gen geometric pozitiv; sau, de exemplu, în 1946 Savery a publicat o lucrare care proclama o dovadă că o suprafață de gradul 6 în spațiul tridimensional are cel mult 52 de singularități, dar sextica lui Barth are 65 de singularități. Savery nu a considerat argumentele sale inadecvate, ceea ce a dus la dispute usturatoare cu privire la statutul unora dintre rezultatele sale.

Până în 1950 devenise prea dificil să spunem care dintre rezultatele pretinse erau corecte, iar școala intuitivă informală de geometrie algebrică a căzut în cele din urmă în paragină din cauza fundamentelor sale slabe. Din aproximativ 1950 până în 1980, s-au făcut eforturi semnificative pentru a salva cât mai multe afirmații posibil de la colapsul final, dându-le stilul algebric strict al geometriei algebrice fondat de Weyl și Zariski. În special, în anii 1960, Kodaira și Shafarevich și studenții săi au rescris clasificarea Enriquez a suprafețelor algebrice mai strict și, de asemenea, au extins-o la toate suprafețele complexe compacte; în anii 1970, Fulton și MacPherson au pus calculele clasice ale teoriei intersecțiilor pe o bază strictă.

Literatură

Link -uri

  Accesați articolul Wikidata  Dicționare și enciclopedii