Proiecție (geometrie)

Proiecția ( lat.  projectio  - „aruncat înainte”) este:

1. imaginea unei figuri tridimensionale pe așa-numitul plan al imaginii (de proiecție) într-un mod care este o idealizare geometrică a mecanismelor optice ale vederii , fotografiei , camerei obscure . Termenul de proiecție în acest context înseamnă și metoda de construire a unei astfel de imagini și tehnicile pe care se bazează această metodă. Folosit pe scară largă în inginerie grafică , arhitectură , pictură și cartografie . Studiul metodelor de construire a proiecţiilor ca disciplină inginerească se ocupă de geometria descriptivă ;
2. o generalizare a proiecției în primul său sens (mai precis, o generalizare a varietății sale - proiecție paralelă ) pentru afișarea punctelor, figurilor, vectorilor spațiului de orice dimensiune pe subspațiul său de orice dimensiune: de exemplu, în plus față de proiecția punctelor a spațiului tridimensional pe un plan, poate exista o proiecție a punctelor spațiului tridimensional pe o linie dreaptă, puncte ale unui plan pe o linie, puncte ale unui spațiu cu 7 dimensiuni pe subspațiul său cu 4 dimensiuni etc. , precum și proiecția unui vector pe orice subspațiu al spațiului original, în special pe o linie sau pe direcția unui vector (definiția produsului scalar în euclidian este asociată cu ultimul spațiu ). Proiecția în acest sens își găsește aplicație largă în raport cu vectorii (atât în ​​context elementar, cât și în unul abstract), atunci când se utilizează coordonate carteziene etc.

Definiție generală

O mapare a unui spațiu în sine se numește proiecție dacă această mapare este idempotentă , adică compoziția sa cu sine este egală cu sau pentru toți .

Proiecție din spațiul tridimensional pe un plan

Metoda proiecției de reprezentare a obiectelor se bazează pe reprezentarea lor vizuală. Dacă conectați toate punctele obiectului cu linii drepte (raze de proiecție) cu un punct constant O (centrul de proiecție), în care se presupune că ochiul observatorului , atunci la intersecția acestor raze cu orice plan, o proiecție a tuturor punctelor a obiectului se obţine. Astfel, obținem o imagine în perspectivă a unui obiect pe un plan, sau o proiecție centrală .

Dacă centrul de proiecție este la infinit depărtat de planul imaginii, atunci se vorbește despre o proiecție paralelă ; în plus, dacă razele de proiecție cad perpendicular pe plan - atunci despre proiecția ortogonală , iar dacă oblic - aproximativ oblic .

Dacă planul de proiecție nu este paralel cu niciunul dintre planurile de coordonate ale sistemului  dreptunghiular , aceasta este o proiecție axonometrică .

• Pentru oricare dintre aceste proiecții, un segment de linie trece într-un segment de linie (și în cazul degenerat , când segmentul se află pe raza de proiecție, într-un punct); o linie dreaptă poate deveni o linie dreaptă sau o rază. Această proprietate simplifică foarte mult aplicarea proiecției în scopuri vizuale, în special în desenul tehnic , atunci când obiectul conține multe elemente rectilinii: este suficient să proiectați capetele segmentelor și să le conectați în desen cu linii drepte.
• Elipsa sau cercul se transformă într-o elipsă (în cazul degenerat, într-un segment sau cerc).

Proiecție dintr-un spațiu arbitrar pe subspațiul său

Proiecția în acest sens (menționată în introducerea din paragraful 2) este utilizată pe scară largă în algebra liniară (pentru mai multe detalii, vezi: Proiecție (algebra liniară) ), dar în practică, nu numai în contexte destul de abstracte, ci și atunci când se lucrează cu vectori de orice natură, dimensiuni și grade de abstractizare, și chiar în geometria elementară și, de asemenea, - foarte larg - atunci când se folosesc coordonate rectilinii (ca dreptunghiulare sau afine ).

Separat, ar trebui să menționăm proiecția unui punct pe o dreaptă și proiecția unui vector pe o dreaptă (pe o direcție).

Proiecție ortogonală pe linie și pe direcție

Cea mai des folosită proiecție este ortogonală.

Termenul de proiecție în acest sens este folosit atât în ​​raport cu operația de proiecție în sine, cât și în raport cu rezultatul acesteia (în timpul operației de proiectare pe o dreaptă, imaginile unui punct, vector, mulțime de puncte se numesc proiecția unui punct). , vector, set de puncte pe această dreaptă).

O descriere elementară a proiecției ortogonale a unui punct pe o linie se rezumă la faptul că o perpendiculară trebuie coborâtă din punct pe linie, iar intersecția ei cu linia va oferi imaginea punctului (proiecția punctului pe această linie). Această definiție funcționează atât în ​​plan, cât și în spațiul tridimensional, și în spațiul de orice dimensiune.

O definiție elementară a proiecției unui vector pe o dreaptă este cel mai ușor dată prin reprezentarea vectorului ca un segment direcționat. Apoi începutul și sfârșitul său pot fi proiectate pe o linie dreaptă, iar un segment direcționat de la proiecția începutului până la proiecția sfârșitului vectorului original va oferi proiecția sa pe linie dreaptă.

Proiecția unui vector pe o anumită direcție se numește de obicei un număr care coincide în valoare absolută cu lungimea proiecției acestui vector pe linia dreaptă care definește această direcție; semnul numărului este ales astfel încât să fie considerat pozitiv atunci când direcția acestei proiecții coincide cu direcția dată și negativ când direcția este opusă.

• Ultima definiție este foarte ușor de înlocuit cu una echivalentă folosind produsul scalar : dacă direcția este dată de un vector unitar e , atunci proiecția oricărui vector a pe această direcție este egală cu produsul scalar a•e .
• Același lucru poate fi rescris , unde  este lungimea vectorului ,  este unghiul dintre vector și direcția în care se caută proiecția.

Proiecție non-ortogonală la linie și direcție

Proiecția non-ortogonală este folosită mai rar și chiar și atunci când este folosită, mai ales în contexte elementare, termenul nu este întotdeauna folosit.

Cea mai simplă modalitate de a specifica o proiecție neortogonală pe o linie este prin specificarea acestei linii în sine și a unui plan (în cazul bidimensional, o altă linie în loc de un plan; în cazul unui spațiu n -dimensional, un hiperplan de dimensiunea ( n -1)) care intersectează linia. Proiecția unui punct este definită ca intersecția planului (hiperplanul) care conține acest punct și paralel cu planul care definește proiecția.

În cazul în care planul (hiperplanul) care definește proiecția este ortogonal cu linia, obținem o proiecție ortogonală (aceasta poate fi definiția sa alternativă). Prin urmare, pentru o proiecție non-ortogonală propriu-zisă, trebuie să se ceară ca această ortogonalitate să fie absentă.

Pentru o proiecție neortogonală a unui vector pe o dreaptă și pe o direcție, definițiile se obțin din definiția dată a proiecției unui punct, în același mod în care a fost descrisă în paragraful proiecției ortogonale.

• Adevărat, trebuie avut în vedere că în mod implicit, proiecția unui vector pe o linie dreaptă sau pe o direcție este încă înțeleasă ca fiind o proiecție ortogonală.

Cu toate acestea, conceptul de proiecție non-ortogonală poate fi util (cel puțin dacă nu vă este frică de confuzie terminologică) pentru introducerea coordonatelor oblice și lucrul cu acestea (prin ele, în principiu, conceptul de coordonate punctuale și coordonate vectoriale în acest caz poate fi definit destul de ușor).

Proiecția unui punct pe o mulțime

Proiecția unui punct v pe o mulțime convexă X este un punct al mulțimii X astfel încât [1]

Vezi și

• Proiector (matematică)

Note

1. ↑ Bazaraa, Sherali, Shetty, 2006 , formula 8.72, p. 435.

Literatură

• Mokhtar S. Bazaraa, Hanif D. Sherali, C. V. Shetty. programare neliniară. - Wiley-Interscience, 2006. - ISBN 0-471-48600-0 .
• Proiecție // Micul Dicționar Enciclopedic al lui Brockhaus și Efron  : în 4 volume - Sankt Petersburg. , 1907-1909.
• Proiectie - articol din Marea Enciclopedie Sovietică . 
• Aparat de proiectie, Măritor de fotografii, Imprimare prin proiecție, Aparat de proiecție film // Tehnica foto-cinema: Enciclopedie / Cap. ed. E. A. Iofis . — M .: Enciclopedia sovietică , 1981. — 447 p.