Lp (spațiu)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 18 mai 2022; verificările necesită 2 modificări .

$L^{p}$ (desemnarea se găsește și ; se citește „el-pe”; de asemenea - spații Lebesgue ) - acestea sunt spații de funcții măsurabile astfel încât gradul lor este integrabil , unde . $L_{p}$ $p$ $p\geqslant 1$

$L^{p}$ este cea mai importantă clasă de spații Banach . (pronunțat „el-two”) este un exemplu clasic de spațiu Hilbert . $L^{2}$

Clădire

Spațiile sunt folosite pentru a construi spații . Spațiul pentru un spațiu cu măsură și este setul de funcții măsurabile definite pe acest spațiu, astfel încât: $L^{p}$ ${\mathcal {L}}^{p}$ ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}}),\;\mu )$ $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$ $1\leqslant p<\infty$

\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)<\infty

După cum rezultă din proprietățile elementare ale integralei Lebesgue și ale inegalității lui Minkowski , spațiul este liniar . ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}}),\;\mu )$

Pe un spațiu liniar se introduce un seminorm : ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}}),\;\mu )$

\|f\|_{p}=\left(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{\frac {1}{p }}

Nenegativitatea și omogenitatea rezultă direct din proprietățile integralei Lebesgue, iar inegalitatea Minkowski este inegalitatea triunghiulară pentru acest seminorm [1]

În continuare, introducem relația de echivalență : , dacă aproape peste tot . Această relație împarte spațiul în clase de echivalență care nu se intersectează, iar seminormele oricăror doi reprezentanți ai aceleiași clase coincid. Pe spațiul coeficient construit (adică familia claselor de echivalență) se poate introduce o normă egală cu seminorma oricărui reprezentant al acestei clase. Prin definiție, toate axiomele unui seminorm sunt păstrate și, în plus, în virtutea construcției de mai sus, este valabilă și definiția pozitivă. ${\mathcal {L}}^{p}$ $f\sim g$ $f(x)=g(x)$ ${\mathcal {L}}^{p}$ ${\mathcal {L}}^{p}/\sim$

Un spațiu coeficient cu o normă construită pe el și se numește spațiu sau pur și simplu . $\left({\mathcal {L}}^{p}/\!\sim ,\;\|\cdot \|_{p}\right)$ $L^{p}(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$ $L^{p}$

Cel mai adesea, această construcție este menită, dar nu menționată în mod explicit, iar elementele nu sunt clasele de echivalență ale funcțiilor, ci funcțiile în sine, definite „până la măsura zero”. $L^{p}$

Când nu formează un spațiu normat, deoarece inegalitatea triunghiului nu este valabilă [2] , ele formează totuși spații metrice . Nu există operatori continui liniari netriviali în aceste spații . $0<p<1$ $L^{p}$

Completitudine

Norma on împreună cu structura liniară generează metrica: $L^{p}$

d(f,\;g)=\|fg\|_{p}

și, prin urmare, este posibil să se definească convergența pe spații: o succesiune de funcții se numește convergență la o funcție dacă: $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}$ $f\în L^{p}$

\|f_{n}-f\|_{p}\la 0

la .

n\la\infty

Prin definiție, un spațiu este complet atunci când orice succesiune fundamentală în converge către un element din același spațiu. Astfel este un spațiu Banach . $L^{p}$ $L^{p}$ $L^{p}$

Spațiu L²_

În acest caz, norma este generată de produsul interior . Astfel, împreună cu conceptul de „lungime”, și conceptul de „unghi” are sens aici și, prin urmare, concepte înrudite, precum ortogonalitatea , proiecția . $p=2$

Produsul scalar pe spațiu este introdus după cum urmează: $L^{2}$

\langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,\mu (dx)

dacă funcțiile considerate sunt cu valori complexe sau:

\langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{g(x)}\,\mu (dx)

dacă sunt reale. Atunci evident:

\|f\|_{2}={\sqrt {\langle f,\;f\rangle ))

adică norma este generată de produsul scalar. Având în vedere caracterul complet al oricărui , rezultă că este Hilbert . $L^{p}$ $L^{2}$

Spațiu L ∞

Spațiul este construit din spațiul funcțiilor măsurabile, mărginit aproape peste tot, prin identificarea între ele a unor funcții care diferă doar pe un set de măsură zero și, punând prin definiție: $L^{\infty }$ ${\mathcal {L}}^{\infty }(X,\;{\mathcal {F)),\;\mu )$

\|f\|_{\infty }=\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f(x)|

, unde este supremul esențial al funcției.

\mathrm {ess} \sup

$L^{\infty }$ este un spațiu Banach .

Metrica generată de normă se numește uniformă . Convergența generată de o astfel de metrică se mai numește: $\|\cdot \|_{\infty }$

f_{n}\la f

în , dacă la .

L^{\infty }

\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f_{n}(x)-f(x)|\la 0

n\la\infty

Proprietăți

Convergența funcțiilor aproape peste tot nu implică convergență în spațiu . Lasă pentru și pentru , . Apoi aproape peste tot. Dar . De asemenea, inversul nu este adevărat. $L^{p}$ $f_{n}(x)=n^{1/p}$ $x\in(0,1/n]$ $f_{n}(x)=0$ $x\in(1/n,1]$ $f_{n}\în L^{p}$ $f_{n}\la 0$ $\|f_{n}\|_{p}^{p}=\int _{0}^{1}|f_{n}|^{p}d\mu =1$
Dacă pentru , atunci există o subsecvență astfel încât aproape peste tot. $\|f_{n}-f\|_{p}\la 0$ $n\la\infty$ $f_{n_{k}}$ $f_{n_{k}}\la f$
$L^{p}$ funcțiile pe linia reală pot fi aproximate prin funcții netede. Fie un subset de funcții infinit netede. Atunci peste tot este dens în . $L_{C^{\infty }}^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$ $L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$ $L_{C^{\infty }}^{p}$ $L^{p}$
$L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$ este separabil pentru . $p<\infty$
Dacă este o măsură finită, de exemplu, probabilitatea de , și , atunci . În particular, , adică o variabilă aleatoare cu un al doilea moment finit are un prim moment finit. $\mu$ $1\leqslant p\leqslant q\leqslant \infty$ $L^{q}\subset L^{p}$ $L^{2}\subset L^{1}$

Spații duale

Pentru spațiile duale cu (spații ale funcționalelor liniare pe ) are loc următoarea proprietate: dacă , atunci este izomorfă cu ( ), unde . Orice funcțional liniar pe are forma: $\left(L^{p}\right)^{\stea }$ $L^{p}$ $L^{p}$ $1<p<\infty$ $\left(L^{p}\right)^{\stea }$ $L^{q}$ $\left(L^{p}\right)^{\star }\cong L^{q}$ $1/p+1/q=1$ $L^{p}$

g(f)=\int \limits _{X}f(x)\,{\tilde {g}}(x)\,\mu (dx),

unde . ${\tilde {g}}(x)\in L^{q}$

Datorită simetriei ecuației , spațiul în sine este dual (până la izomorfism) cu , și, prin urmare: $1/p+1/q=1$ $L^{p}$ $L^{q}$

\left(L^{p}\right)^{\star \star }\cong L^{p}.

Acest rezultat este valabil și pentru cazul , adică . Cu toate acestea, și, în special, . $p=1$ $\left(L^{1}\right)^{\star }=L^{\infty }$ $\left(L^{\infty }\right)^{\star }\nu \cong L^{1}$ $\left(L^{1}\right)^{\star \star }\nu \cong L^{1}$

Spații ℓ p

Fie , unde să fie o măsură numărabilă pe , adică . Atunci dacă , atunci spațiul este o familie de secvențe de forma , astfel încât: $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )=\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\right)$ $m$ $\mathbb {N}$ $m(\{n\})=1,\;\forall n\in \mathbb {N}$ $p<\infty$ $\ell ^{p}\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\dreapta)$ $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$

\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty

În consecință, norma asupra acestui spațiu este dată de

\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p }}

Spațiul normat rezultat este notat cu . $\ell ^{p}$

Dacă , atunci spațiul șirurilor mărginite cu norma este considerat: $p=\infty$

\|x\|_{\infty }=\sup \limits _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|

Spațiul rezultat se numește , este un exemplu de spațiu neseparabil . $\ell ^{\infty }$

Ca și în cazul general, prin stabilirea lui , obținem un spațiu Hilbert a cărui normă este generată de produsul scalar: $p=2$ $\ell ^{2}$

\langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{\overline {y_{n))}

dacă secvențele sunt cu valori complexe și:

\langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{y_{n)),

dacă sunt reale.

Spațiul conjugat cu , unde este izomorf cu , . Pentru . Cu toate acestea . $\ell ^{p}$ $1<p<\infty$ $\ell ^{q}$ $1/p+1/q=1$ $p=1:\left(\ell ^{1}\right)^{\star }=\ell ^{\infty }$ $\left(\ell ^{\infty }\right)^{\star }\nu \cong \ell ^{1}$

Note

↑ Seminormul introdus în acest fel nu este o normă , pentru că dacă aproape peste tot , atunci , ceea ce contrazice cerințele pentru normă. Pentru a transforma un spațiu cu seminormă într-un spațiu cu normă, este necesară „identificarea” funcțiilor care diferă unele de altele doar pe un set de măsură zero. $f(x)=0$ $\|f\|_{p}=0$
↑ Mai precis, inegalitatea triunghiului invers este valabilă - când : $0<p<1$ $\forall f,g\in L_{p}(\Omega )\colon \,\left(\int \limits _{\Omega }|f(x)+g(x)|^{p}dx\right) ^{\frac {1}{p}}\geqslant \left(\int \limits _{\Omega }|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}} +\left(\int \limits _{\Omega }|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p))$

Literatură

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională. - ed. al patrulea, revizuit. — M .: Nauka , 1976 . — 544 p.
Trenogin V. A. Analiza functionala. — M .: Nauka , 1980 . — 495 p.