Spațiul Urysohn

Spațiul Urysohn este un spațiu metric , universal într-un anumit sens. De obicei notat . $\mathbb {U}$

Definiție

Spațiul Urysohn este un spațiu metric complet separabil cu următoarele două proprietăți: $\mathbb {U}$

Universalitate: orice spațiu metric finit este izometric pentru o anumită submulțime . $\mathbb {U}$
Omogenitate finită: pentru oricare două submulțimi izometrice finite ale acesteia , orice izometrie dintre ele se extinde la o izometrie globală . $Y_{1},Y_{2}\subset \mathbb {U}$ $\mathbb {U}$

Notă

În mod echivalent, spațiul Urysohn poate fi definit ca un spațiu metric complet separabil care are proprietatea de extensie; adică, orice mapare izometrică dintr-un subset al unui spațiu metric finit poate fi extinsă la o mapare izometrică . $\mathbb {U}$ $A\to \mathbb {U}$ $A$ $F$ $F\la \mathbb {U}$

Proprietăți

Spațiul Urysohn există și este unic până la izometrie. $\mathbb {U}$

Spațiul Urysohn este compact omogen . Adică, orice mapare izometrică a unei submulțimi compacte poate fi extinsă la o izometrie . $\mathbb {U}$ $K\subset \mathbb {U}$ $U$ $\mathbb {U}$

Spațiul Urysohn este homeomorf la produsul unui număr numărabil de linii reale. [unu] $\mathbb {U}$

Conform unei proceduri naturale de generare a unui spațiu metric separabil complet aleatoriu, spațiul rezultat se dovedește aproape sigur a fi izometric față de spațiul Urysohn.
- Această proprietate este analogă proprietății de bază a grafului Rado-Erdős-Rényi .

Istorie

Maurice Fréchet a demonstrat că spațiul este $\ell ^{\infty }$ universal, adică include o copie izometrică a oricărui spațiu metric separabil. Cu toate acestea, spre deosebire de spațiul Urysohn, acesta nu este nici finit omogen, nici separabil. El a pus problema existenței unui spațiu separabil cu această proprietate. Un astfel de spațiu a fost construit de Pavel Samuilovich Uryson . [2] $\ell ^{\infty }$

Miroslav Katetov a dat un răspuns pozitiv la întrebarea pusă de Uryson despre existența unui spațiu universal finit omogen incomplet . [3] În același articol, este dată o construcție ușor simplificată a spațiului Urysohn.

Note

↑ V. Uspenskij. „Spațiul metric universal Urysohn este homeomorf unui spațiu Hilbert.” TopologieAppl. 139.1-3 (2004), 145–149.
↑
- „Sur un espace metrique universel” Comptes Rendus Acad, Paris, 180 (1925), p. 803 (comunicare scurtă)
- „Sur un espace metric universel” Bull, de Sciences Mathematiques, seria a II-a, vol. 51, pp. 1-38.
  - Traducere: Uryson, PS „Despre spațiul metric universal”. PS Uryson. Lucrează pe topologie și alte domenii ale matematicii. M: 747-777.
↑ M. Kattov. „Despre spațiile metrice universale”. Topologia generală și relațiile sale cu analiza și algebra modernă, VI (Praga, 1986). Vol. 16.Rez. Exp. Matematică. Heldermann, Berlin 1988, 323–330.

Link -uri

S. A. Bogatyi, Compact homogeneity of Uryson's universal metric space , Russian Math .

A. M. Vershik , Un spațiu metric aleatoriu este un spațiu Urysohn, Dokl. RAN , 387 :6 (2002), 733-736

A. M. Vershik, Universality and Randomness in Geometry and Analysis , înregistrare video a unei prelegeri pe 28 septembrie 2006 la Seminarul All-Institute „Mathematics and Its Applications” al Institutului de Matematică. V. A. Steklov RAS.

A. M. Vershik, Random metric spaces and universality , Uspekhi Mat . Nauk , 59 :2(356) (2004), 65-104.

J. Melleray, Unele proprietăți geometrice și dinamice ale spațiului Urysohn. TopologieAppl. 155 (2008), nr. 14, 1531–1560.