Spațiul modulului

Un spațiu de module în geometria algebrică este un spațiu geometric (de exemplu, o schemă , spațiu complex sau algebric ), ale cărui puncte corespund unei clase de obiecte algebric-geometrice , factorizate printr-o relație de echivalență . Astfel de spații apar adesea ca soluții la probleme de clasificare: dacă setul de obiecte de interes pentru noi (de exemplu, curbe algebrice netede ale genului considerat până la izomorfism ) poate fi echipat cu structura unui spațiu geometric, atunci aceste obiecte pot fi parametrizate. prin introducerea de coordonate pe acest spațiu. În acest context, termenul „module” este sinonim cu termenul „parametri”: spațiile de module au fost înțelese inițial ca spații de parametri, nu spații obiect. $A$ $R$ $g$

Istorie

Teoria modulelor a apărut în studiul funcțiilor eliptice : există o familie de câmpuri diferite de funcții eliptice (sau modelele acestora - curbe eliptice neizomorfe peste ), parametrizate prin numere complexe. Bernhard Riemann , care deține termenul „module” în sine, a arătat că suprafețele compacte Riemann ale genului depind de parametri complecși - module . $\mathbb {C}$ $g\geqslant 2$ $3g-3$

Definiții

Să fie o schemă (spațiu complex sau algebric). O familie de obiecte parametrizate printr-o schemă (sau, după cum se spune adesea, peste sau cu o bază ) este un set de obiecte prevăzute cu o structură suplimentară compatibilă cu structura bazei . Această structură este specificată în mod explicit în fiecare caz particular. Un functor de modul (sau un functor de familie ) este un functor contravariant din categoria schemelor (sau spațiilor) la categoria mulțimilor, definită astfel: este mulțimea claselor de familii izomorfe peste , iar o mapare este asociată unui morfism prin luarea familiei induse. $S$ $S$ $S$ $S$ $\{X_{s}|s\în S,X_{s}\în A\)$ $S$ ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}(S)$ $S$ $f:S\la T$ $f^{*}:{\mathcal {M}}(T)\to {\mathcal {M}}(S)$

Dacă functorul de module este reprezentabil folosind o schemă (sau spațiu) , atunci se numește spațiu de module subțire pentru functor . În acest caz, există o familie universală cu bază , adică o familie arbitrară cu bază este indusă de familie cu ajutorul unei singure mapări . ${\mathcal {M}}$ $M$ $M$ ${\mathcal {M}}$ $U$ $M$ $T$ $S$ $U$ $f:S\la M$

Functorul de module este reprezentabil în foarte puține cazuri, în legătură cu care a fost introdus și conceptul de spațiu de module brute . Schema se numește spațiu de module brute pentru functor . dacă există o transformare naturală astfel încât $M$ ${\mathcal {M}}$ $\varphi:{\mathcal {M}}\la \mathrm {Hom} (\cdot, M)$

dacă este un câmp algebric închis , atunci maparea este bijectivă; $K$ $\varphi (\mathrm {Spec.} \,K):{\mathcal {M}}(\mathrm {Spec.} \,K)\la \mathrm {Hom} (\mathrm {Spec.} \,K, M)$
pentru o schemă arbitrară și o transformare naturală , există un morfism unic astfel încât transformarea naturală asociată satisface . $M'$ $\varphi ':{\mathcal {M}}\to \mathrm {Hom} (\cdot, M')$ $\pi:M\la M'$ $\Pi :\mathrm {Hom} (\cdot, M)\la \mathrm {Hom} (\cdot, M')$ $\varphi =\Pi \circ \varphi '$

Intuitiv, punctele închise ale diagramei de modul brut corespund elementelor , iar geometria acestei diagrame reflectă modul în care obiectele unei clase pot varia în familii. Pe de altă parte, o familie universală poate să nu mai existe pe o schemă brută de module. $A/R$ $A$

Exemple

Curbe

Fie (respectiv, ) mulțimea de clase de curbe netede proiective izomorfe (respectiv, curbe stabile ) ale genului peste un câmp închis algebric . O familie de overs este un morfism neted (plat) propriu-zis ale cărui fibre sunt curbe netede (stabile) ale genului . Apoi, există o schemă brută de module (respectiv, ) care este o varietate cvasi-proiectivă (proiectivă) ireductibilă și normală peste . [unu] $A/R=\mathbf {M} _{g)$ ${\overline {\mathbf {M} _{g)}}$ $g\geqslant 2$ $K$ $S$ $f:X\la S$ $g$ $M_{g)$ ${\overline {M_{g}})$ $K$

Pachete de vectori

Fie mulțimea claselor de pachete de vectori izomorfe de rang pe o varietate algebrică . Familia peste este un pachet vectorial pe . În cazul în care este o curbă proiectivă nesingulară peste un câmp algebric închis, există o varietate proiectivă normală , care este un spațiu grosier de module de mănunchiuri vectoriale semistabile de rang și grad pe . Bunurile de vectori stabile sunt parametrizate de o subvarietă netedă deschisă . Dacă și sunt între prime, coincide cu și este un spațiu de module subțiri [2] . $A/R$ $n$ $X$ $S$ $X\times S$ $X$ ${\overline {M_{d,n)})$ $n$ $d$ $X$ $M_{d,n}\subset {\overline {M_{d,n)}}$ $d$ $n$ $M_{d,n)$ ${\overline {M_{d,n)})$

Note

↑ Deligne, Pierre; Mumford, David. Ireductibilitatea spațiului de curbe ale unui gen dat // Publications Mathématiques de l'IHÉS. - Paris, 1969. - Vol. 36. - P. 75-109.
↑ P.E. Newstead. Introducere în problemele modulelor și spațiile de orbită. — Springer-Verlag, 1978.

Literatură

Teoria modulului - articol din Enciclopedia Matematicii . V. A. Iskovskikh
J. Harris, I. Morrison. Module curbe. Curs introductiv / per. din engleza. ed. S. K. Lando. - Moscova: Mir, 2004.
K. Okonek, M. Schneider, H. Spindler. Pachete de vectori pe spații proiective complexe / per. din engleza. ed. Yu. I. Manina. - Moscova: Mir, 1984.