Spațiul funcțiilor de bază

Spațiul funcțiilor de bază este o structură cu ajutorul căreia se construiește spațiul funcțiilor generalizate (spațiul funcționalelor liniare pe spațiul funcțiilor de bază).

Funcțiile generalizate sunt de mare importanță în fizica matematică , iar spațiul funcțiilor de bază este folosit ca bază pentru construcția funcțiilor generalizate (formal, acesta este domeniul funcțiilor generalizate corespunzătoare). Ecuațiile diferențiale sunt considerate în așa-numitele. sens slab , adică nu considerăm o egalitate punctuală, ci egalitatea funcționalelor liniare regulate corespunzătoare pe un spațiu adecvat al funcțiilor de bază. Vezi spații Sobolev .

De obicei, spațiul funcțiilor infinit diferențiabile cu suport compact (așa-numitele funcții finite ) este ales ca spațiu al funcțiilor de bază , pe care se introduce următoarea convergență (și de aici topologia ): ${\mathcal {D}}(\Omega )$ $C_{0}^{\infty }(\Omega )$

Secvența converge la dacă: $\left\{u_{j}\right\}_{j=1}^{\infty }\subset {\mathcal {D}}(\Omega )$ $u\in {\mathcal {D}}(\Omega )$

Funcțiile sunt uniform finite , adică sunt compacte în și includ . $u_{j}$ $\exists K$ $\Omega$ $\forall j\;\mathrm {supp} \,u_{j}\subset K$
$\forall \alpha \;D^{\alpha }u_{j}(x)\to D^{\alpha }u(x)$ uniform peste . $X$

Aici este o zonă delimitată în . $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$

Pentru întrebările cu transformată Fourier , sunt utilizate funcții generalizate de creștere lentă. Pentru ei, clasa Schwartz este aleasă ca principală - infinit netedă pentru funcțiile care scad la fel de repede decât orice grad împreună cu toate derivatele lor. Convergenţa asupra acesteia este definită astfel: succesiunea funcţiilor converge către dacă ${\mathcal {S}}={\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ $\mathbb {R} ^{n}$ $|x|\la \infty$ $|x|^{-k}$ $\phi _{1},\phi _{2},\dots$ $\phi ^{*}$

\forall \alpha,\beta \in \mathbb {N} \ |x|^{\alpha}D^{\beta}\phi _{j}(x)\to |x|^{\alpha} }D^{\beta }\phi ^{*}(x)

uniform peste .

X

Alegerea clasei Schwartz pentru construirea transformatei Fourier pe spațiul funcțiilor generalizate este determinată de faptul că transformata Fourier este un automorfism pe clasa Schwartz.

Literatură

V.S. Vladimirov . Funcții generalizate în fizica matematică. - ed. al 2-lea. — M .: Nauka , 1979 . — 320 s.

Spațiul funcțiilor de bază

Literatură

Vezi și