Simulare Monte Carlo directă

Simularea Monte Carlo directă (metoda de simulare Monte Carlo statistică directă) este o metodă de dinamică computațională a gazelor concepută pentru a rezolva problemele de dinamică a gazelor rarefiate. Metoda poate fi interpretată ca o soluție a ecuației Boltzmann .

Metoda PSM se bazează pe reprezentarea unui gaz printr-un set de particule discrete (fiecare fiind un număr mare de molecule reale), pentru care este dat un proces stocastic al coliziunii lor între ele. Evoluția unui set de particule este descrisă ca o mișcare rectilinie uniformă, întreruptă în momente aleatorii de acte instantanee de ciocniri de perechi, prin urmare, de regulă, se folosesc modele de coliziuni cu o secțiune finită completă. Pentru a simplifica algoritmul și a accelera semnificativ calculul, fazele de mișcare și ciocnirea particulelor sunt separate unele de altele și se alternează, iar partenerii de coliziune sunt selectați numai în cadrul aceleiași celule (fără a lua în considerare poziția relativă).

După atingerea regimului de curgere staționară, macroparametrii de curgere sunt calculați prin mediarea parametrilor particulelor pe un număr suficient de mare de pași de timp.

Metoda are trei parametri principali de discretizare: pasul de timp , dimensiunea celulei (partenerii de coliziune pentru fiecare particulă sunt aleși numai în cadrul aceleiași celule), numărul de particule din celulă . Pasul de timp trebuie să fie mai mic decât timpul dintre coliziuni , dimensiunea celulei trebuie să fie mai mică decât calea liberă medie , numărul de particule din celulă trebuie să fie suficient de mare pentru ca probabilitatea de coliziuni repetate (când două particule se ciocnesc cu unul pe celălalt de două ori la rând fără a se ciocni cu alte particule) este mic.

Există o convergență de ordinul doi în (cu condiția ca particulele să treacă rar mai mult de o celulă într-un pas de timp din cauza mișcării termice, altfel se observă primul ordin), al doilea ordin în , și primul ordin în .

Varianța parametrilor macro acumulați scade invers cu numărul de pași de timp luați în considerare (cu toate acestea, pașii de timp prea scurti vor necesita mai mult datorită autocorelațiilor în timp ale parametrilor particulelor din celulă). Adică, pentru a reduce amplitudinea erorii la jumătate, este necesar să se calculeze de patru ori mai mulți pași de timp.

Când se face media, este de dorit să se utilizeze atât eșantionul de fază de post-tranziție, cât și eșantionul de fază post-coliziune, adică două mostre pentru fiecare pas de timp. Acest lucru face posibilă obținerea unei precizii de ordinul doi în pasul de timp pentru momente mai mari, cum ar fi fluxul de căldură. Medierea timpului nu este potrivită pentru rezolvarea problemelor non-staționare; trebuie să simuleze fluxul de mai multe ori și să se facă o medie pe ansamblul soluțiilor.

Complexitatea metodei PSM este direct legată de gradul de rarefacție a gazului, care este determinat de numărul Knudsen (raportul dintre calea liberă medie și dimensiunea caracteristică a sistemului calculat). Complexitatea crește rapid cu o scădere a numărului Knudsen, adică cu o creștere a densității gazului, deoarece este necesară rafinarea rețelei și creșterea numărului de particule. Situația este complicată de faptul că stabilirea unui regim staționar într-un gaz mai dens durează mai mult, în timp ce treapta de timp, dimpotrivă, trebuie redusă. Ca urmare, metoda PSM este utilizată, în primul rând, atunci când ipoteza unei abateri locale extrem de mici a gazului de la echilibru nu funcționează, respectiv, ecuațiile Navier-Stokes nu sunt aplicabile, iar soluția ecuațiilor Boltzmann este necesară.

Istoria metodei

Pentru prima dată, metoda modelării statistice directe folosind scindarea prin procesele de coliziune și transfer de molecule a fost propusă de G. Byrd în 1963 [1] . După aceea, a fost propusă schema Bird's Time-Counter [2] . La începutul anilor 1990, aproape toate calculele au fost efectuate folosind schema Bird's Non-Time Counter [3] , sau schema de frecvență majoră.

Aplicabilitatea metodei

Deoarece un gaz rarefiat este un gaz în care probabilitatea de coliziuni duble este mult mai mare decât probabilitatea de coliziuni de ordin înalt (triplu etc.), metoda este aplicabilă pentru a descrie fluxurile de gaz în molecular liber, tranzițional și continuu. regimuri. De exemplu, aerul satisface condiția de rarefacție până la o presiune de sute de atmosfere . Regimul de curgere este determinat de obicei în termenii numărului Knudsen Kn .

O altă limitare a aplicabilității metodei este legată de încălcarea condiției haosului molecular, care este utilizată în derivarea ecuației Boltzmann. Apariția unei dependențe statistice între moleculele de modelare duce la necesitatea creșterii numărului de molecule de modelare. Pentru fluxurile în modul aproape continuu ( ), acest factor forțează utilizarea sistemelor de calcul paralele

În prezent, metoda de modelare statistică Monte Carlo directă este utilizată pentru a studia fluxuri de asemenea scări diferite, cum ar fi fluxul în jurul navelor spațiale la intrarea în atmosfere planetare, fluxurile de gaz în interiorul micro și nanodispozitivelor și fluxurile de gaz în timpul proceselor tehnologice în vid.

Note

  1. ↑ Bird GA Abordarea echilibrului translațional într-un gaz de sferă rigidă. Fiz. fluide . Vol.6, nr. 10, P 1518-1519 (1963)
  2. ↑ Byrd G. Dinamica moleculară a gazelor. M.: Mir, 1981.
  3. ↑ Bird GA Dinamica moleculară a gazelor și simulările directe ale fluxurilor de gaze. — Clarendon Press, Oxford. — 1994.

Link -uri

Literatură

Bibliografie: 9.