Ecuația Boltzmann cinetică

Ecuația Boltzmann ( ecuația Boltzmann cinetică ) este o ecuație numită după Ludwig Boltzmann , care a considerat-o primul și care descrie distribuția statistică a particulelor într-un gaz sau lichid . Este una dintre cele mai importante ecuații ale cineticii fizice (un domeniu al fizicii statistice care descrie sisteme care sunt departe de echilibrul termodinamic, de exemplu, în prezența gradienților de temperatură și a unui câmp electric ). Ecuația Boltzmann este utilizată pentru a studia transportul căldurii și sarcinii electrice în lichide și gaze, iar proprietățile de transport precum conductivitatea electrică , efectul Hall , vâscozitatea și conductivitatea termică sunt derivate din aceasta . Ecuația este aplicabilă pentru sistemele rarefiate, unde timpul de interacțiune între particule este scurt ( ipoteza haosului molecular ).

Formulare

Ecuația Boltzmann descrie evoluția în timp a funcției de distribuție într-un spațiu de fază cu o singură particule , unde și sunt coordonatele , momentul și , respectiv, timpul . Distribuția este definită astfel încât $f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)$ $\mathbf {x}$ ${\mathbf {p}}$ $t$

f({\mathbf {x}},{\mathbf {p}},t)\,d^{3}x\,d^{3}p

este proporțională cu numărul de particule din spațiul de fază în timp . Ecuația Boltzmann $d^{3}x\,d^{3}p$ $t$

{\frac {\partial f}{\partial t)}+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} })\cdot {\frac {\mathbf {p} }{m ))+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot \mathbf {F} =\left.{\frac {\partial f}{\partial t))\right|_ {\mathrm {col.} }.

Aici este câmpul de forțe care acționează asupra particulelor dintr-un lichid sau gaz și este masa particulelor. Termenul din partea dreaptă a ecuației este adăugat pentru a explica coliziunile dintre particule și se numește integrală de coliziune . Dacă este zero, atunci particulele nu se ciocnesc deloc. Acest caz este adesea denumit ecuația Liouville cu o particulă . Dacă câmpul de forță este înlocuit cu un câmp auto-consecvent adecvat, în funcție de funcția de distribuție , atunci obținem ecuația Vlasov care descrie dinamica particulelor de plasmă încărcate într-un câmp auto-consistent. Ecuația Boltzmann clasică este utilizată în fizica plasmei , precum și în fizica semiconductoarelor și a metalelor (pentru a descrie fenomene cinetice, adică transferul de sarcină sau căldură, într- un fluid electronic ). $\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)$ $m$ $\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)$ $f$

În mecanica hamiltoniană , ecuația Boltzmann este adesea scrisă într-o formă mai generală

{\hat {{\mathbf {L}}}}[f]={\mathbf {C}}[f]

unde este operatorul Liouville care descrie evoluția volumului spațiului de fază și este operatorul de coliziune. Forma non-relatistă a operatorului este următoarea $\mathbf{L}$ ${\mathbf {C}}$ $\mathbf{L}$

{\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {NR} }={\frac {\partial }{\partial t)}+{\frac {\mathbf {p} }{m} }\cdot \nabla _{\mathbf {x} }+\mathbf {F} \cdot \nabla _{\mathbf {p} },

iar în teoria generală a relativităţii

{\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {GR} }=\sum _{\alpha }p^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\ alfa ))}-\sum _{\alpha \beta \gamma }\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }p^{\beta }p^{\gamma }{\frac {\partial }{ \partial p^{\alpha }}},

unde este simbolul Christoffel . $\Gamma$

Integral de coliziune

Ciocnirile dintre particule conduc la o schimbare a vitezei lor. Dacă se specifică probabilitatea împrăștierii particulelor dintr-o stare cu viteză la o stare cu viteză , atunci integrala de coliziune pentru particulele clasice se scrie ca $W({\mathbf {v)),{\mathbf {v))^{\prime })d^{3}v^{\prime }dt$ ${\mathbf {v))$ ${\mathbf {v}}^{\prime }$

\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{{coll}}=\int _{({\mathbf {v}}^{\prime }}}[f(t ,{\mathbf {r)),{\mathbf {v}}^{\prime })W({\mathbf {v}}^{\prime },{\mathbf {v}})-f(t, {\mathbf {r)),{\mathbf {v}})W({\mathbf {v}},{\mathbf {v}}^{\prime })]d^{3}v^{\prime }

În cazul naturii cuantice a statisticii particulelor, această expresie este complicată de imposibilitatea ca două particule să se afle într-o stare cu aceleași numere cuantice și, prin urmare, este necesar să se țină cont de imposibilitatea împrăștierii în stări ocupate.

Aproximarea timpului de relaxare

Ecuația Boltzmann este o ecuație diferențială parțială integro-diferențială complexă . În plus, integrala de coliziune depinde de sistemul specific, de tipul de interacțiune dintre particule și de alți factori. Găsirea caracteristicilor comune ale proceselor de neechilibru nu este o sarcină ușoară. Cu toate acestea, se știe că în starea de echilibru termodinamic integrala de coliziune este egală cu zero. Într-adevăr, într-o stare de echilibru într-un sistem omogen în absența câmpurilor externe, toate derivatele din partea stângă a ecuației Boltzmann sunt egale cu zero, deci integrala de coliziune trebuie să fie și ea egală cu zero. Pentru abateri mici de la echilibru, funcția de distribuție poate fi reprezentată ca

f=f_{0}+f_{1)

unde este funcția de distribuție a echilibrului, care este cunoscută din termodinamică și depinde numai de vitezele particulelor și este o mică abatere. $f_{0}({\mathbf {v}})$ $f_{1}$

În acest caz, se poate extinde integrala de coliziune într-o serie Taylor în raport cu funcția și o poate scrie sub forma: $f_{1}$

\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{\mathrm {coll} }=-{\frac {f_{1}}{\tau }}=-{ \frac {f-f_{0}}{\tau }}

unde este timpul de relaxare . O astfel de aproximare se numește aproximarea timpului de relaxare sau modelul integral al coliziunii Bhatnagar-Gross-Krook . Timpul de relaxare inclus în ecuația Boltzmann depinde de viteza particulelor și, în consecință, de energie. Timpul de relaxare poate fi calculat pentru un sistem specific cu procese specifice de împrăștiere a particulelor. $\tau$

Ecuația Boltzmann în aproximarea timpului de relaxare este scrisă ca

{\frac {\partial f}{\partial t))+{\mathbf {v))\cdot \nabla f+{\frac ({\mathbf {F))}{m))\cdot \nabla _{{ {\mathbf {v}}}}f=-{\frac {f-f_{0}}{\tau }}

Derivarea ecuației Boltzmann

Derivarea microscopică a ecuației Boltzmann din primele principii (pe baza ecuației exacte a lui Liouville pentru toate particulele mediului) se realizează prin terminarea lanțului de ecuații Bogolyubov la nivelul funcției de corelație de pereche pentru clasica [1] și cuantică [2]. ] sisteme. Contabilizarea în lanțul de ecuații cinetice pentru funcțiile de corelație de ordin superior vă permite să găsiți corecții la ecuația Boltzmann [3] .

Vezi și

Note

↑ Bogolyubov N. N. Kinetic Equations (neopr.) // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1946. - T. 16 (8) . - S. 691-702 .
↑ Bogolyubov N. N. , Gurov K. P. Ecuații cinetice în mecanica cuantică (neopr.) // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1947. - T. 17 (7) . - S. 614-628 .
↑ Metoda lui Shelest A. V. Bogolyubov în teoria dinamică a ecuațiilor cinetice. — M.: Nauka, 1990. 159 p. ISBN 5-02-014030-9 .

Link -uri

5 cărți despre Boltzmann și ecuația sa Arhivat 24 februarie 2013 la Wayback Machine

Literatură

Cherchinyani K. Teoria și aplicațiile ecuației Boltzmann. — M .: Mir, 1978. — 495 p.
ed. Liebovitz JL, Montroll EW Fenomene de neechilibru: ecuația Boltzmann. — M .: Mir, 1986. — 272 p.
Carleman T. Probleme matematice ale teoriei cinetice a gazelor. - M. : IL, 1960. - 120 p.

Dicționare și enciclopedii	mare danez mare chinezesc Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	NKC : ph548971