Dedekind psi-funcția

Funcția psi Dedekind este o funcție multiplicativă definită pe numere întregi pozitive ca

\psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right),

unde produsul este preluat de toate numerele prime p care se împart pe n (prin convenție, ψ(1) este produsul gol al lui și, prin urmare, are valoarea 1). Funcția a fost propusă de Richard Dedekind în legătură cu funcțiile modulare .

Valoarea funcției ψ( n ) pentru primele câteva numere întregi n :

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24... (secvența A001615 în OEIS ).

Valoarea funcției ψ( n ) este mai mare decât n pentru toate n mai mari decât 1 și chiar pentru toate n mai mari decât 2. Dacă n este pătrat liber , atunci ψ( n ) = σ( n ) .

Funcția ψ poate fi definită prin setarea p pentru puterile unui număr prim și apoi extinzând această definiție la toate numerele întregi conform multiplicativității. Aceasta conduce la o demonstrație a funcției generatoare în termenii funcției zeta Riemann , care este $\psi (p^{n})=(p+1)p^{n-1)$

\sum {\frac {\psi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s))).

Aceasta este, de asemenea, o consecință a faptului că îl putem scrie ca un pliu Dirichlet . $\psi =\mathrm {Id} *|\mu |$

Comenzi mari

Generalizare la comenzi mari prin Jordan Totient

\psi _{k}(n)={\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)))

lângă Dirichlet

{\displaystyle \sum _{n\geqslant 1}{\frac {\psi _{k}(n)}{n^{s))}={\frac {\zeta (s)\zeta (sk)} {\zeta (2s))))

Este, de asemenea, convoluția Dirichlet de puteri și pătrate a funcției Möbius ,

\psi _{k}(n)=n^{k}*\mu ^{2}(n)

În cazul în care un

\epsilon _{2}=1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0\ldots

este funcția caracteristică a pătratelor, o altă convoluție Dirichlet conduce la o funcție σ generalizată ,

\epsilon _{2}(n)*\psi _{k}(n)=\sigma _{k}(n)

Note

Literatură

Goro Shimura . Introducere în teoria aritmetică a funcțiilor automorfe. - Princeton, 1971. - P. 25, ecuația (1).
Carella NA Numerele întregi fără pătrat și valorile extreme ale unor funcții aritmetice. — 2010.
Richard J. Mathar. Studiul seriei Dirichlet de funcții aritmetice multiplicative. — 2011. Secțiunea 3.13.2
A065958 este ψ 2 , A065959 este ψ 3 și A065960 este ψ 4

Link -uri

Weisstein, Eric W. Dedekind Function (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .