Axa radicală a două cercuri

Axa radicală a două cercuri este locul punctelor ale căror grade față de două cercuri date sunt egale. Cu alte cuvinte, lungimile a patru tangente trasate la două cercuri date din orice punct M al unui loc dat de puncte sunt egale.

Axa radicală a două cercuri există dacă și numai dacă cercurile sunt neconcentrice și poate fi definită atât pentru cercuri, cât și pentru puncte (cercuri cu raza zero) și cercuri imaginare (rază imaginară).

Proprietățile axei radicale

Axa radicală este dreaptă. Deoarece gradul punctului față de cerc este acolo unde coeficienții A, B și C sunt determinați în funcție de coordonatele centrului și razei cercului, atunci, prin echivalarea gradelor punctului față de două cercuri, obținem și aceasta este ecuația unei drepte. Există și o dovadă a acestui fapt folosind doar metode geometrice. $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C,$ $x^{2}+y^{2}+A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=x^{2}+y^{2}+A_{2}x+ B_ {2}y+C_{2}\Leftrightarrow (A_{1}-A_{2})x+(B_{1}-B_{2})y+(C_{1}-C_{2})=0,$
Axa radicală este perpendiculară pe linia de centre, care decurge din simetria ambelor cercuri față de linia de centre.
Dacă P este un punct pe axa radicală, atunci lungimile tangentelor de la punctul P la ambele cercuri sunt egale - acest lucru rezultă din faptul că gradul punctului este egal cu pătratul lungimii segmentului tangentei. În special, axa radicalilor bisectează segmentele tangentelor comune.

Dacă cercurile se intersectează în două puncte, atunci axa lor radicală va fi o linie dreaptă care trece prin aceste puncte, dacă se ating exterior, atunci tangenta internă comună va fi axa radicală, dacă internă, atunci tangenta comună (singura) .

Dacă liniile care conțin acordurile și , respectiv, primul și al doilea cerc se intersectează pe axa radicalilor, atunci patrulaterul este înscris . Acest lucru este ușor de demonstrat: să fie punctul de intersecție. Prin proprietatea gradului unui punct, acesta este egal cu și deoarece P se află pe axa radicalului, atunci este egal cu și Deoarece punctele și se află pe același cerc. Reversul este de asemenea adevărat: dacă două cercuri sunt intersectate de al treilea, astfel încât acesta este coarda comună a primului și a treia și este coarda comună a celui de-al doilea și al treilea, atunci liniile AB și CD se vor intersecta pe axa radicală a primele două cercuri, de altfel, în așa-numitul centru radical al celor trei cercuri (vezi . mai jos). Construcția axei radicale cu un compas și o riglă se bazează pe această proprietate: construim un cerc care intersectează două date date în patru puncte și apoi aruncăm o perpendiculară de la centrul lor radical la linia de centre. $AB$ $CD$ $ABCD$ $P$ $PA\cdot PB,$ $PC\cdot PD.$ $PA\cdot PB=PC\cdot PD,$ $A,B,C$ $D$ $AB$ $CD$

Axele radicale ale trei cercuri cu centre necoliniare se intersectează într-un punct, numit centru radical . Fie cercuri și fie punctul de intersecție al axei radicale a cercurilor și cu axa radicală a cercurilor și . Dacă este gradul unui punct față de cerc , atunci prin definiția axei radicale și punctul se află pe axa radicală a cercurilor și $\Omega _{1},\Omega _{2},\Omega _{3)$ $P$ $\Omega _{1)$ $\Omega _{2)$ $\Omega _{2)$ $\Omega _{3)$ ${\mathfrak {P}}(\omega,A)$ $A$ $\omega ,$ ${\mathfrak {P}}(\Omega _{1},P)={\mathfrak {P}}(\Omega _{2},P)={\mathfrak {P}}(\Omega _ {3},P),$ $P$ $\Omega _{1)$ $\Omega _{3}.$
Locul centrelor cercurilor ortogonale la două date date este axa lor radicală cu coarda comună exclusă (dacă există). Vezi fig.

Acorduri antiomolog[ clarifica ] două cercuri se intersectează pe axa lor radicală (aparent, ne referim la două coarde care trec prin două perechi de puncte antihomotetice a două cercuri, vezi figura de mai jos).
Fie un patrulater, linii și se intersectează la , și - la . Atunci cercurile construite pe segmentele , și , ca și pe diametre, au o axă radicală comună, pe care se află punctele de intersecție a altitudinilor triunghiurilor , , și ( linia Auber-Steiner ). $ABCD$ $AB$ $CD$ $F$ $î.Hr$ $ANUNȚ$ $E$ $AC$ $BD$ $EF$ $ABE$ $CDE$ $BCF$ $ADF$

Ortogonalitate

Două cercuri care se intersectează în unghi drept sunt numite ortogonale . Cercurile pot fi considerate ortogonale dacă formează un unghi drept între ele.
Două cercuri care se intersectează în punctele A și B cu centrele O și O' se numesc ortogonale dacă sunt unghiuri drepte OAO' și OBO' . Această condiție garantează un unghi drept între cercuri. În acest caz, razele (normalele) celor două cercuri desenate până la punctul lor de intersecție sunt perpendiculare. Prin urmare, tangentele a două cercuri desenate la punctul lor de intersecție sunt și ele perpendiculare. Tangenta cercului este perpendiculară pe raza (normală) trasată la punctul de contact. De obicei, unghiul dintre curbe este unghiul dintre tangentele lor desenat în punctul de intersecție.
Poate exista o altă condiție suplimentară. Fie două cercuri care se intersectează în punctele A și B au punctele medii ale arcelor de intersectare în punctele C și D , adică arcul AC este egal cu arcul CB , arcul AD este egal cu arcul DB . Atunci aceste cercuri se numesc ortogonale dacă sunt unghiuri drepte СAD și СBD .

Consecințe din proprietățile axei radicale

Pe o linie dreaptă care trece prin punctele de tangență a două cercuri ale unui triunghi cu două dintre laturile sale, aceste cercuri decupează segmente egale.
Acesta din urmă poate fi formulat după cum urmează. Dacă 2 cercuri ale unui triunghi ating 2 dintre laturile sale diferite și 2 din prelungirile lor în 4 puncte tangente, atunci patrulaterul format din ultimele 4 puncte ca vârfuri este un trapez isoscel cu 2 laturi laterale egale și, de asemenea, 2 diagonale (tangent la 2 cercuri).
Diagonalele unui hexagon circumscris unui cerc care leagă vârfuri opuse se intersectează într-un punct ( teorema lui Brianchon pentru un cerc).

Link -uri

Wikimedia Commons are medii legate de Axa radicală a două cercuri

Vezi și

centru radical