Număr prim regulat
Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 26 iunie 2016; verificarea necesită 1 editare .În teoria numerelor, un prim regulat este orice prim p pentru care numărul de clase ideale ale unui câmp circular nu este divizibil cu p . Toate celelalte numere prime impare se numesc neregulate.
Primele numere prime regulate [1] :
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, …Proprietăți
Numerele regulate sunt exact numerele prime Kummer, dar acest lucru este destul de dificil de demonstrat. Pentru a verifica dacă un număr este Kummer, se poate folosi așa-numitul criteriu Kummer: p este Kummer dacă și numai dacă numărătorii tuturor numerelor Bernoulli nu sunt divizibili cu p .
Se presupune că există infinit de numere prime regulate, dar această afirmație nu a fost dovedită.
Numerele regulate au fost introduse de Kummer [2] în timp ce încerca să demonstreze teorema lui Fermat . Una dintre teoremele obținute, ținând cont de coincidența regularității și a proprietății Kummer, afirmă următoarele:
Dacă un prim p este regulat, atunci ecuația lui nu are soluții în numere naturale .
Prim neregulat
Un număr prim care nu este regulat se numește prim neregulat . Câteva prime prime neregulate [3] :
37 , 59, 67, 101 , 103 , 131 , 149 , 157, 233, 257 , 263, 271, 283 , 293, …Jensen a demonstrat că există infinit de numere prime neregulate.
Perechi neregulate
Dacă p este un număr prim neregulat, atunci p împarte fără rest numărătorul numărului Bernoulli B 2 k pentru un indice par 2 k în intervalul 0 < 2k < p −1 . În acest caz, perechea de numere (p, 2k) se numește pereche neregulată . Primele câteva perechi neregulate [4] :
(691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24), …Pentru un prim dat p , numărul acestor perechi se numește indicele neregularității lui p . Astfel, un număr prim este regulat dacă și numai dacă indicele de neregularitate este zero. În mod similar, un număr prim este neregulat dacă și numai dacă indicele său de neregularitate este pozitiv.
Se constată că pentru p < 30000 perechea (p, p−3) este neregulată doar pentru numărul prim Wolstenholm p = 16843 .
Note
Literatură
- Postnikov M. M. Introducere în teoria numerelor algebrice. — M .: Nauka, 1982.
- Borevici Z.I., Şafarevici I.R. Teoria numerelor. — M .: Nauka, 1985.
- Ernest Kummer. Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung x λ + y λ = z λ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ-3)/2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen // J. Reine Angew. Matematică. - 1850. - Emisiune. 40 . - S. 131-138 .