Conectivitate Levi-Civita

Conexiunea Levi-Civita (sau conexiunea asociată metricului ) este una dintre structurile principale ale unei varietăți riemanniane. Oferă o modalitate naturală de diferențiere a câmpurilor vectoriale pe o varietate Riemanniană ; este echivalent cu specificarea diferențierii covariante , precum și a translației paralele de-a lungul curbelor. Numit după matematicianul italian Tullio Levi-Civita .

Definiție

O conexiune Levi-Civita este o conexiune afină cu torsiune zero pe o varietate Riemanniană (sau pseudo-Riemanniană ) în raport cu care tensorul metric este constant covariant. $M$

Adică, o conexiune afină pe o varietate Riemanniană se numește conexiune Levi-Civita dacă sunt îndeplinite următoarele două condiții pentru aceasta: $\nabla$ $(M,\;g)$

(Riemannian) pentru orice câmpuri vectoriale , , adevărat , unde denotă derivata în direcția . $X$ $Y$ $Z$
$X(g(Y,\;Z))=g(\nabla_X Y,\;Z)+g(Y,\;\nabla_X Z)$
$X(g(Y,\;Z))$ $g(Y,Z)$ $X$
(absența torsiune) pentru orice câmpuri vectoriale și , unde sunt parantezele Lie ale câmpurilor vectoriale și . $X$ $Y$
$\nabla_XY-\nabla_YX-[X,\;Y]=0$
$[X Y]$ $X$ $Y$

Proprietăți

Orice varietate riemanniană (și pseudo-riemanniană) are o conexiune unică Levi-Civita; această afirmație este uneori numită teorema fundamentală a geometriei riemanniene .

Vezi și

Literatură

Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Introducere în geometria riemanniană. - Sankt Petersburg: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .